Διπλή ανισότητα

orestisgotsis · #1

Περιττό

Ορέστης Λιγνός · #2

orestisgotsis έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 11, 2023 10:08 pm
Για , να αποδείξετε την παρακάτω διπλή ανισότητα:

$\displaystyle\frac{1}{2}<\int_{0}^{\displaystyle\frac{1}{2}}{\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\sqrt{1-{{x}^{n}}}}\,dx<\displaystyle\frac{\pi }{6}}$ .

Αρχικά, θα υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα $\displaystyle \int_{0}^{1/2} \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$ . Χρησιμοποιώντας την αντικατάσταση $x=\sin u$ , έχουμε ότι $dx=\cos u \, du$ , άρα

$\displaystyle \int_{0}^{1/2} \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx=\int_{0}^{\pi/6} \dfrac{1}{\cos u} \cdot \cos u \, du=\int_{0}^{\pi/6} 1 \, du=\dfrac{\pi}{6}.$

Τώρα, είναι

$1<\dfrac{1}{\sqrt{1-x^n}}<\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}},$

για n>2

, οπότε ολοκληρώνοντας από το

ως το

και χρησιμοποιώντας το ολοκλήρωμα που υπολογίσαμε πιο πάνω, προκύπτει το ζητούμενο.

Διπλή ανισότητα

Διπλή ανισότητα

Re: Διπλή ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση