Μηδενική συνάρτηση

#1

Έστω $f:\mathbb R \longrightarrow \mathbb R$ συνεχής συνάρτηση τέτοια ώστε για κάθε $\lambda \in \mathbb R$ ισχύει $\displaystyle{\int_0^1f(\lambda x)dx=0}$ . Δείξτε ότι η

είναι η μηδενική συνάρτηση.

Ορέστης Λιγνός · #2

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 09, 2023 2:34 am
Έστω $f:\mathbb R \longrightarrow \mathbb R$ συνεχής συνάρτηση τέτοια ώστε για κάθε $\lambda \in \mathbb R$ ισχύει $\displaystyle{\int_0^1f(\lambda x)dx=0}$ . Δείξτε ότι η είναι η μηδενική συνάρτηση.

Για $\lambda \neq 0,$ θέτουμε $\lambda x =u$ , οπότε $\lambda dx=du$ και συνεπώς

$\displaystyle 0=\int_0^1f(\lambda x) \, dx=\int_0^\lambda \dfrac{f(u)}{\lambda} \, du,$

άρα $\displaystyle \int_0^\lambda f(u) \, du=0$ για κάθε $\lambda \neq 0$ .

Αφού η

είναι συνεχής, έχει μία αρχική

, οπότε

$0=\displaystyle \int_0^\lambda f(u) \, du=G(\lambda)-G(0),$

συνεπώς $G(\lambda)=G(0)$ για κάθε $\lambda \neq 0$ , άρα η συνάρτηση

είναι σταθερή, οπότε αφού G'=f

η

είναι η μηδενική συνάρτηση, όπως θέλαμε να αποδείξουμε.

#3

θα επιχειρήσω απόδειξη με- ε- ΘΜΤ -ξ

$\displaystyle{0=\int_{0}^{1}f(mx)dx=\lim_{\epsilon \to 0}(1/m)\int_{m\epsilon}^{m}f(y)}dy=\frac{F(m)-F(m\epsilon )}{m}=\lim_{\epsilon \to 0}(1-\epsilon)f(\xi)=f(\xi)}$ , με $\displaystyle{m\epsilon<\xi<m}$
Το οποιδήποτε $\displaystyle{\xi}$ του $\displaystyle{(0,1)}$ απεικονίζεται με μια αντιστοιχία 1-1 και επι στο $\displaystyle{x}$ αφου $\displaystyle{y=mx, x\in [0,1],\xi=y\in (me,m)}$ και λόγω συνεχειας στο $\displaystyle{[me,m]}$

ΑΡΑ $\displaystyle{f(x)=0}$

Μηδενική συνάρτηση

Μηδενική συνάρτηση

Re: Μηδενική συνάρτηση

Re: Μηδενική συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση