ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ - ΝΕΑ ΥΛΗ

Συντονιστής: R BORIS

Άβαταρ μέλους
vasvas
Δημοσιεύσεις: 3
Εγγραφή: Κυρ Ιαν 04, 2009 12:11 am
Επικοινωνία:

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ - ΝΕΑ ΥΛΗ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vasvas » Πέμ Ιαν 13, 2022 9:45 pm

Μια άσκηση στα ολοκληρώματα, στη διάθεση των συναδέλφων.
OL1.pdf
(115.85 KiB) Μεταφορτώθηκε 86 φορές
OL1.ggb
(13.88 KiB) Μεταφορτώθηκε 27 φορές
OL1.docx
(75.55 KiB) Μεταφορτώθηκε 27 φορές



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 2026
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ - ΝΕΑ ΥΛΗ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Παρ Ιαν 14, 2022 1:35 pm

Δεοντολογικά δεν επιτρέπεται η ανάρτηση θέματος σε αρχείο, αλλά αφού υπάρχει ας δούμε την γενίκευση του.

Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f με πεδίο ορισμού [a,b] . Αν η f είναι γνησίως αύξουσα, να βρεθεί το σημείοM(x_0 , f ( x _0 )) , με
a \le x_0 \le b , ώστε το εμβαδόν που περικλείεται από την γραφική παράσταση της συνάρτησης f και των ευθειών x= a,~ x= b και  y = f ( x_0 ) , να γίνεται ελάχιστο.


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Άβαταρ μέλους
vasvas
Δημοσιεύσεις: 3
Εγγραφή: Κυρ Ιαν 04, 2009 12:11 am
Επικοινωνία:

Re: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ - ΝΕΑ ΥΛΗ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vasvas » Παρ Ιαν 14, 2022 10:27 pm

Γενικά, αρκεί να προκύπτει ότι η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη. Ευχαριστώ για την παρατήρηση.


KAKABASBASILEIOS
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1565
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ - ΝΕΑ ΥΛΗ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Σάβ Ιαν 15, 2022 11:57 pm

Christos.N έγραψε:
Παρ Ιαν 14, 2022 1:35 pm
Δεοντολογικά δεν επιτρέπεται η ανάρτηση θέματος σε αρχείο, αλλά αφού υπάρχει ας δούμε την γενίκευση του.

Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f με πεδίο ορισμού [a,b] . Αν η f είναι γνησίως αύξουσα, να βρεθεί το σημείοM(x_0 , f ( x _0 )) , με
a \le x_0 \le b , ώστε το εμβαδόν που περικλείεται από την γραφική παράσταση της συνάρτησης f και των ευθειών x= a,~ x= b και  y = f ( x_0 ) , να γίνεται ελάχιστο.
Πρώτα να καλωσορίσουμε το νέο μέλος vasvas στη παρέα του :logo:
Συμφωνώντας με την παρατήρηση του Χρήστου προτείνω στο νέο μας μέλος να διαβάσει τι ισχύει για τις αναρτήσεις στο καταστατικό του :logo:
δίνω μιά αντιμετώπιση στη γενίκευση του Χρήστου...

ΛΥΣΗ

Θέλουμε a\le {{x}_{0}}\le \beta ώστε το εμβαδόν που δίνεται από το τύπο

E=\int\limits_{a}^{{{x}_{0}}}{|f(x)-f({{x}_{0}})|dx}+\int\limits_{{{x}_{0}}}^{\beta }{|f(x)-f({{x}_{0}})|dx} να γίνεται ελάχιστο.

Επειδή η f είναι γνήσια αύξουσα ισχύει x\le {{x}_{0}}\Rightarrow f(x)\le f({{x}_{0}}),\,\,\,x\ge {{x}_{0}}\Rightarrow f(x)\ge f({{x}_{0}})\,\,

επομένως το εμβαδό δίνεται από το τύπο E=\int\limits_{a}^{{{x}_{0}}}{(f({{x}_{0}})-f(x))dx}+\int\limits_{{{x}_{0}}}^{\beta }{(f(x)-f({{x}_{0}}))dx}

και αν F μία αρχική της f στο [a,\,\beta ] γίνεται

E=\left[ f({{x}_{0}})x-F(x) \right]_{a}^{{{x}_{0}}}+\left[ F(x)-f({{x}_{0}})x \right]_{{{x}_{0}}}^{\beta } ή

\displaystyle E=\left[ f({{x}_{0}}){{x}_{0}}-F({{x}_{0}})-f({{x}_{0}})a-F(a) \right]+\left[ F(\beta )-f({{x}_{0}})\beta -F({{x}_{0}})+f({{x}_{0}}){{x}_{0}} \right] ή

\displaystyle E=f({{x}_{0}})(2{{x}_{0}}-a-\beta )-2F({{x}_{0}})+F(a)+F(\beta ) να γίνεται ελάχιστο

Γι αυτό θεωρούμε την συνάρτηση \displaystyle E(x)=f(x)(2x-a-\beta )-2F(x)+F(a)+F(\beta ),\,\,x\in [a,\,\beta ]

που είναι παραγωγίσιμη με \displaystyle {E}'(x)={f}'(x)(2x-a-\beta )+2f(x)-2f(x)={f}'(x)(2x-a-\beta )

και αφού \displaystyle {E}'(\frac{a+\beta }{2})=0 και \displaystyle {f}'(x)\ge 0,\,\,x\in [a,\,\beta ] και

\displaystyle 2x-a-\beta <0\Leftrightarrow x<\frac{a+\beta }{2},\,\,\,2x-a-\beta >0\Leftrightarrow x>\frac{a+\beta }{2} στο σημείο

\displaystyle {{x}_{0}}=\frac{a+\beta }{2} η συνάρτηση \displaystyle E παρουσιάζει ολικό ελάχιστο .

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες