Ισότητα

Συντονιστής: R BORIS

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4697
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Ισότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Οκτ 13, 2021 10:35 pm

Έστω f:[0, 2] \rightarrow \mathbb{R} συνεχής συνάρτηση. Να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\left ( \int_{0}^{1} f(x)\, \mathrm{d}x \right )^3 + \left ( \int_{1}^{2} f(x)\, \mathrm{d}x \right )^3 + \left ( \int_{2}^{0} f(x)\, \mathrm{d}x \right )^3 = 3 \int_{0}^{1} f(x)\, \mathrm{d}x \cdot \int_{1}^{2} f(x)\, \mathrm{d}x \cdot \int_{2}^{0} f(x)\, \mathrm{d}x}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13631
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ισότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Οκτ 13, 2021 10:47 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τετ Οκτ 13, 2021 10:35 pm
Έστω f:[0, 2] \rightarrow \mathbb{R} συνεχής συνάρτηση. Να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\left ( \int_{0}^{1} f(x)\, \mathrm{d}x \right )^3 + \left ( \int_{1}^{2} f(x)\, \mathrm{d}x \right )^3 + \left ( \int_{2}^{0} f(x)\, \mathrm{d}x \right )^3 = 3 \int_{0}^{1} f(x)\, \mathrm{d}x \cdot \int_{1}^{2} f(x)\, \mathrm{d}x \cdot \int_{2}^{0} f(x)\, \mathrm{d}x}
.
Είναι απλό και γνωστό ότι αν a+b+c=0, τότε a^3+b^3+c^3=3abc. Εδώ έχουμε ακριβώς μία τέτοια κατάσταση με

\displaystyle{ a= \int_{0}^{1} f(x)\, \mathrm{d}x, \, b=\int_{1}^{2} f(x)\, \mathrm{d}x,\, c= \int_{2}^{0} f(x)\, \mathrm{d}x}


Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1561
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Ισότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Τετ Οκτ 13, 2021 10:48 pm

Γειά σου Απόστολε

Θέτουμε \displaystyle a = \int\limits_0^1 f (x)\,{\rm{d}}x,b = \int\limits_1^2 f (x)\,{\rm{d}}x,c = \int\limits_2^0 f (x)\,{\rm{d}}x
Τότε : \displaystyle a + b + c = 0 , οπότε από την ταυτότητα Euler έπεται ότι \displaystyle {a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc


Kαλαθάκης Γιώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης