Παράγουσα και τιμή συνάρτησης

Συντονιστής: R BORIS

Απάντηση
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 5555
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: International
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Tolaso J Kos

Παράγουσα και τιμή συνάρτησης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Σεπ 27, 2021 7:52 pm

Δίδεται η συνεχής συνάρτηση f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} με παράγουσα \mathrm{F} για την οποία ισχύει

\displaystyle{\mathrm{F} (x) \mathrm{F} (1-x) = \mathrm{F} \left( x^2 \right) \quad \text{για κάθε} \;\; x \in \mathbb{R}}

Να δειχθεί ότι f(1)=0.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Λέξεις Κλειδιά:
Ολοκληρωτικός-Λογισμός
αρχική
παράγουσα
Κορυφή
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 18284
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Παράγουσα και τιμή συνάρτησης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Σεπ 27, 2021 10:58 pm

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 27, 2021 7:52 pm
 Δίδεται η συνεχής συνάρτηση f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} με παράγουσα \mathrm{F} για την οποία ισχύει

\displaystyle{\mathrm{F} (x) \mathrm{F} (1-x) = \mathrm{F} \left( x^2 \right) \quad \text{για κάθε} \;\; x \in \mathbb{R}}

Να δειχθεί ότι f(1)=0.
Παραγωγίζοντας έχουμε f(x)F(1-x)-F(x)f(1-x)=2xf(x^2). Βάζοντας x=0 και μετά x=1 παίρνουμε

f(0)F(1)-F(0)f(1)=0 και

f(1)F(0)-F(1)f(0)=2f(1).

Προσθέτοντας κατά μέλη έπεται 0=2f(1), από όπου το ζητούμενο.


Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης