Προσέγγγιση ολοκληρώματος

Tolaso J Kos · #1

Πώς θα αντιμετωπίζατε σε επίπεδο Λυκείου το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int_1^{\sqrt{5}} \sqrt{x^2-1} \, \mathrm{d}x}$ ;

BAGGP93 · #2

Καλημέρα Τόλη. Θα σου λεγα το γνωστό, δηλαδή, για $x\in\left(1,\sqrt{5}\right]$ φτιάξε ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές κάθετες

και $\sqrt{x^2-1}$ , οπότε υποτείνουσα

. Πες

τη γωνία που είναι προσκείμενη στην πλευρά

και θα έχουμε

$\cos\,t=\frac{1}{x}\iff x=\frac{1}{\cos\,t}$ . (ίσως τους φανεί λογική αυτή η αντικατάσταση και όχι ουρανοκατέβατη)

Μετά για άκρα έχεις $t_1=0, 0<t_2<\frac{\pi}{2}$ όπου $\cos\,t_2=\frac{1}{\sqrt{5}}$ άρα βρίσκεις με πράξεις

$\displaystyle{I=\int_{0}^{t_2}\frac{\sin^2\,t}{\cos^3\,t}dt=\int_{0}^{t_2}(\frac{\tan^2\,t}{2})'\,\sin\,t\,dt=\left[\frac{1}{2}\,\tan^2\,t\,\sin\,t\right]_{0}^{t_2}-\int_{0}^{t_2}\frac{\sin^2\,t}{\cos\,t}\,dt}$

και το 2ο ολοκλήρωμα βγαίνει λυκειακά επίσης. ( $\sin^2\,t=1-\cos^2\,t$ ) Τι λες ;

Tolaso J Kos · #3

Βαγγέλη αυτό που είχα στο νου μου είναι ότι οι παράγοντες δε λειτουργούν. Ή μάλλον λειτουργούν αλλά πρέπει να πάρουμε όριο. Δηλαδή,

$\displaystyle{\int_{1}^{\sqrt{5}} \sqrt{x^2-1} \, \mathrm{d}x = \left [ x \sqrt{x^2-1} \right ]_1^{\sqrt{5}} - \lim_{\epsilon \rightarrow 1^+} \int_{\epsilon}^{\sqrt{5}} \frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}} \, \mathrm{d}x = \cdots }$

BAGGP93 έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 28, 2021 11:28 am
Καλημέρα Τόλη. Θα σου λεγα το γνωστό, δηλαδή, για $x\in\left(1,\sqrt{5}\right]$ φτιάξε ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές κάθετες

και $\sqrt{x^2-1}$ , οπότε υποτείνουσα . Πες τη γωνία που είναι προσκείμενη στην πλευρά και θα έχουμε

$\cos\,t=\frac{1}{x}\iff x=\frac{1}{\cos\,t}$ . (ίσως τους φανεί λογική αυτή η αντικατάσταση και όχι ουρανοκατέβατη)

Την αντικατάσταση που λες την έχω στο νου μου.. αλλά δυστυχώς είναι εκτός ύλης και δε θα ήθελα να μπλέξω με αυτή τη προσέγγιση.

BAGGP93 · #4

Mα αυτό που σου έγραψα δεν χρειάζεται να πεις κάτι για την ύλη, είναι φυσιολογικό.

kkala · #5

Με κίνδυνο να υπερβώ τα εσκαμμένα, νομίζω ότι εδώ ταιριάζει μια αριθμητική λύση βασισμένη απλά στην έννοια του ολοκληρώματος. Έτσι ο μαθητής "χωνεύει" την έννοια και εξοικιώνεται με μια μέθοδο που είναι συχνά χρήσιμη, ιδίως όταν η αναλυτική έκφραση του ολοκληρώματος είναι δύσκολη ή αδύνατη. Υπάρχουν μάλιστα περιπτώσεις που ούτε η αναλυτική έκφραση της συνάρτησης F(x)

είναι δυνατή, εντούτοις πρέπει να γίνει η ολοκλήρωση.
Χωρίζουμε λοιπόν το διάστημα $(1, \sqrt{5})$ σε π.χ. 10 υποδιαστήματα ίσου μήκους (το ίσο πάντως δεν είναι υποχρεωτικό), βρίσκουμε την τιμή της $F(x)=\sqrt{x^{2}-1}$ για τη μέση τιμή κάθε υποδιαστήματος Δχ και αθροίζουμε τα γινόμενα $F(x)*\Delta x$ , όπως φαίνεται στο συνημμένο λογιστικό φύλλο. Τούτο βρίσκει προσεγγιστική τιμή ολοκληρώματος 1.5173, έναντι αναλυτικής τιμής 1.5143.
Σημείωση: Παλαιότερα σε τέτοιες περιπτώσεις εχρησιμοποιείτο συχνά γραφική ολοκλήρωση, η οποία έχει το πλεονέκτημα να απεικονίζει την καμπύλη του F(x). Σήμερα τα λογιστικά φύλλα είναι εύκολα στη χρήση τους και απλά μειώνουμε το εύρος των υποδιαστημάτων, αν θέλουμε μεγαλύτερη ακρίβεια.

Διάστηματα 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Αθροιστικά
εύρος κάθε διαστήματος, ΔX 0,1236 0,1236 0,1236 0,1236 0,1236 0,1236 0,1236 0,1236 0,1236 0,1236 1,2361
τιμή X στο μέσο του διαστήματος 1,0618 1,1854 1,3090 1,4326 1,5562 1,6798 1,8034 1,9271 2,0507 2,1743
τιμή F(X) για το υποδηλούμενο Χ 0,3570 0,6366 0,8447 1,0259 1,1924 1,3498 1,5008 1,6473 1,7903 1,9307
F(X)*ΔΧ για κάθε διάστημα 0,0441 0,0787 0,1044 0,1268 0,1474 0,1668 0,1855 0,2036 0,2213 0,2386
Αθροισμα F(X)*ΔΧ για όλα τα διαστήματα 1,5173
Τιμή ολοκληρώματος (αναλυτική προσέγγιση) 1,5143
(<https://socratic.org/questions/how-do-y ... t-x-2-1-dx>) Προσοχή: φαίνεται να διαφέρει από το #3 της ανάρτησης.
Σημείωση: Δεν μπόρεσα να επισυνάψω το λογιστικό φύλλο, μόνο τα παραπάνω

#6

Όταν δίδασκα στο σχολείο συνήθιζα στην Β΄Τάξη να κάνω τις "φυσικές" παραμετροποιήσεις του κύκλου, της έλλειψης και της υπερβολής. Των δύο πρώτων με τριγωνομετρικές συναρτήσεις και της τρίτης με υπερβολικές συναρτήσεις. Μάλιστα κάποιες χρονιές έκανα και λίγη τριγωνομετρία των υπερβολικών συναρτήσεων. Με απώτερο σκοπό στην Γ΄Τάξη να υπολογίσουμε τα εμβαδά κύκλου, έλλειψης και υπερβολικού χωρίου με ολοκληρώματα. Διότι για ποιό λόγο διδάσκει κανεις ολοκληρώματα αν δεν ασχοληθεί με τα εμβαδά βασικών σχημάτων; Βέβαια η αντίστοιχη εφαρμοφή του σχολικού βιβλίου της Γ΄Λυκείου για τον κύκλο είχε ανοήτως εξαιρεθεί και δεν κατέστη δυνατόν να επανέλθει αλλά αυτό ως δάσκαλος δεν το θεώρησα εμπόδιο και την δίδασκα πάντα.
Με αυτή την προεργασία στην Β΄οι μαθητές μου δεν είχαν δυσκολία με τους υπολογισμούς.
Είχα δε στις σημειώσεις μου συμπεριλάβει και σχετική άσκηση που όμως επειδή μπορεί να χρσησιμοποιούνταν και από άλλα παιδιά την είχα εντάξει στην Γ΄ομάδα.
Σχετικά βλ. http://nsmavrogiannis.gr/cthet/Cthet1314.pdf άσκηση 1172 (2. αντικατάσταση β' ) σελ. 180
Στο παραπάνω ολοκλήρωμα η αντικατάσταση που μπορεί να χρησιμοποιηθεί είναι $u=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$ .

Προσέγγγιση ολοκληρώματος

Προσέγγγιση ολοκληρώματος

Re: Προσέγγγιση ολοκληρώματος

Re: Προσέγγγιση ολοκληρώματος

Re: Προσέγγγιση ολοκληρώματος

Re: Προσέγγγιση ολοκληρώματος

Re: Προσέγγγιση ολοκληρώματος

Μέλη σε σύνδεση