Δύο παραβολές 3

Συντονιστής: R BORIS

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12683
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Δύο παραβολές 3

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Ιουν 01, 2021 1:21 pm

Δύο  παραβολές  3.png
Δύο παραβολές 3.png (14.38 KiB) Προβλήθηκε 528 φορές
Ο αριθμός a είναι θετικός . Οι παραβολές με εξισώσεις : y=ax^2 και : y^2=ax , τέμνονται

στα σημεία O και A . α) Βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που σχηματίζουν οι δύο καμπύλες .

β) Βρείτε την μέγιστη εφαπτομένη της γωνίας των εφαπτομένων των δύο καμπυλών στο σημείο A .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4652
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Δύο παραβολές 3

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Ιουν 01, 2021 7:04 pm

(α) Είναι

\displaystyle{\begin{aligned} 
y_1 = y_2 &\Leftrightarrow \left ( ax^2 \right )^2 = ax \\  
 &\Leftrightarrow a^2 x^4 = ax \\  
 &\!\!\!\!\!\overset{a>0}{\Leftarrow \! =\! =\! \Rightarrow } a x^4 - x =0  \\  
 &\Leftrightarrow x \left ( ax^3 -1 \right ) =0 \\  
 &\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 
x & = & 0\\  
x &=  & \sqrt[3]{\frac{1}{a}}  
\end{matrix}\right.  
\end{aligned}}
Τότε,

\displaystyle{\begin{aligned} 
\mathrm{E}\left ( \Omega  \right ) &=  \int_{0}^{\sqrt[3]{1/a}} \left | ax^2 - \sqrt{ax} \right |\, \mathrm{d}x\\  
 &=\int_{0}^{\sqrt[3]{1/a}} \left ( \sqrt{ax}  - ax^2 \right )\, \mathrm{d}x \\  
 &=\frac{2}{3} - \frac{1}{3}  \\  
 &= \frac{1}{3} 
\end{aligned}}

(β) Είναι \displaystyle \mathrm{A} \left ( \sqrt[3]{\frac{1}{a}} , \sqrt[3]{a} \right ). Ο συντελεστής διεύθυνσης της y_1 είναι y_1'(a) = 2 \sqrt[3]{a^2} και της y_2 είναι y_2'(a) = \frac{\sqrt[3]{a^2}}{2}. Η γωνία που σχηματίζουν οι δύο αυτές εφαπτόμενες είναι ίση με

\displaystyle{\tan \theta = \frac{\lambda_1- \lambda_2}{1+\lambda_1 \lambda_2}}
Όμως,

\displaystyle{\begin{aligned} 
\tan \theta &= \frac{2 \sqrt[3]{a^2} - \frac{\sqrt[3]{a^2}}{2}}{1 +  2 \sqrt[3]{a^2}\frac{\sqrt[3]{a^2}}{2}} \\  
 &= \frac{3 \sqrt[3]{a^2}}{2 \left ( \sqrt[3]{a^4}+1 \right )} 
\end{aligned}}
Αρκεί λοιπόν να μεγιστοποιήσουμε τη συνάρτηση \displaystyle{f(a) = \frac{3 \sqrt[3]{a^2}}{2 \left ( \sqrt[3]{a^4}+1 \right )} \;, \; a>0}. Κατά τα κλασσικά βγάζουμε μέγιστο \frac{3}{4} για a=1. Άρα η μέγιστη τιμή της \tan \theta είναι \frac{3}{4}.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12683
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Δύο παραβολές 3

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Ιουν 02, 2021 7:25 pm

Ευχαριστώ τον Τόλη για την άψογη λύση του ( και τα καλά του λόγια ) .
Δύο  παραβολές  3.png
Δύο παραβολές 3.png (14.38 KiB) Προβλήθηκε 411 φορές
Φαντάζομαι ότι το αποτέλεσμα είναι εντυπωσιακό και ίσως αξίζει τον κόπο να ασχοληθούμε λίγο περισσότερο με το "εύρημα" .

Ο δεινός αναλύστας Χρήστος Ντάβας , πρότεινε το πρόσθετο ερώτημα : " Ερμηνεύστε το αποτέλεσμα " , το οποίο , όμως ,

θα πρόδιδε το αποτέλεσμα ( σταθερό εμβαδόν ) , γι αυτό το απέφυγα .

Παρατήρησε επίσης ότι ο γεωμετρικός τόπος του A , είναι γνωστή καμπύλη ( ποια ; )

Μπορείτε να δηλώσετε συμμετοχή στην διεύρυνση ( και διερεύνηση ! ) του θέματος ....


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4652
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Δύο παραβολές 3

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Ιουν 02, 2021 8:01 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Ιουν 02, 2021 7:25 pm

Παρατήρησε επίσης ότι ο γεωμετρικός τόπος του A , είναι γνωστή καμπύλη ( ποια ; )

O γεωμετρικός τόπος είναι η \frac{1}{x}. Αυτό εξάλλου φαίνεται και από τις συντεταγμένες του σημείου \mathrm{A} που βρήκα παραπάνω. Όσον αφορά το άλλο ερώτημα το ότι το εμβαδόν είναι σταθερό , η αλήθεια είναι το διαπίστωσα όταν έλυσα το ερώτημα ( αν και έπρεπε να το υποψιαστώ διότι η άσκηση δε ζητάει να βρεθεί π.χ μέγιστο ή ελάχιστο του εμβαδού )

Τώρα το γιατί ισχύει έχει ένα ενδιαφέρον ... και προς το παρόν δε γνωρίζω την απάντηση.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1957
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Δύο παραβολές 3

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Πέμ Ιουν 03, 2021 3:09 pm

Νομίζω ότι το πρόβλημα που με απασχόλησε έχει την εξής εξήγηση. Το προσέγγισα με την μέθοδο της διαστατικοποίησης.

Πράγματι αν x\to \sqrt[3]{\frac{1}{a}}X και y \to \sqrt[3]{a}Y τότε οι δύο παραβολές καταλήγουν στις

Y=X^2 και X=Y^2 - οι οποίες είναι συμμετρικές - και το χωρίου που περικλείεται από τις δύο έχει εμβαδόν

E=\int_{0}^{1}\sqrt{X}-X^2dX=\frac{1}{3}

Άρα εμείς εδώ είχαμε μια κλάση μετασχηματισμού ενός δεδομένου σχήματος στο επίπεδο που διατηρεί μια ιδιότητα (αυτή του εμβαδού).

Y.Γ. Να προσθέσω ότι η καμπύλη xy=1 επίσης έχει αυτήν την ιδιότητα, δηλαδή το προφανές, τα ορθογώνια που σχηματίζονται με τις προβολές των σημείων της στους άξονες έχουν σταθερό εμβαδόν. Φαίνεται ότι αυτή η ιδιότητα κληρονομήθηκε κατά κάποιο τρόπο στον μετασχηματισμό. Το σημείο τομής ανήκει σε αυτήν την καμπύλη και για αυτό μου δημιουργήθηκε εξ'αρχής η απορία.

Το πολύ όμορφο σε αυτήν την υπέροχη άσκηση του παραγωγικότατου και γενναιόδωρου Θανάση* είναι ότι έρχεται σε αντίθεση με την ενστικτώδης αντίληψη ότι το εμβαδόν θα εξαρτάται από την παράμετρο.



* (πραγματικά πρέπει να έχει μια εύφημη μνεία κάποια στιγμή στο :logo: -ας γίνει κίτρινος- για τα πρωτότυπα θέματα που μας προσφέρει)


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4652
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Δύο παραβολές 3

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Ιουν 03, 2021 4:26 pm

Το μετασχηματισμό τον είχα σκεφτεί και εγώ. Μάλιστα , στην αρχή είπα ότι επειδή οι συναρτήσεις είναι αντίστροφες ... συμβαίνει αυτό που συμβαίνει. Φυσικά οι συναρτήσεις δεν είναι αντίστροφες.
Christos.N έγραψε:
Πέμ Ιουν 03, 2021 3:09 pm

Y.Γ. Να προσθέσω ότι η καμπύλη xy=1 επίσης έχει αυτήν την ιδιότητα, δηλαδή το προφανές, τα ορθογώνια που σχηματίζονται με τις προβολές των σημείων της στους άξονες έχουν σταθερό εμβαδόν. Φαίνεται ότι αυτή η ιδιότητα κληρονομήθηκε κατά κάποιο τρόπο στον μετασχηματισμό. Το σημείο τομής ανήκει σε αυτήν την καμπύλη και για αυτό μου δημιουργήθηκε εξ'αρχής η απορία.

:10sta10: :10sta10:


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4652
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Δύο παραβολές 3

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Ιουν 03, 2021 5:03 pm

Παρεμπιπτόντως αν πάρουμε τις συναρτήσεις f(x)=\alpha x^2 \, , \; x \geq 0 και g(x) = \sqrt{\frac{x}{\alpha}} \; , \; x \geq 0 τότε το εμβαδόν που περικλείεται μεταξύ των γραφημάτων αυτών


\displaystyle{\begin{tikzpicture} 
\draw[->] (-1.5, 0) -- (4, 0) node[below]{x}; 
\draw[->] (0, -0.5) -- (0, 4.5) node[left]{y}; 
\fill[lightgray, domain=0:1] plot(\x, {sqrt(\x)} ) -- plot (1- \x, {(1-\x)*(1-\x)}); 
\draw[line width=1.6pt, red] plot[smooth,domain=0:2] (\x, {(\x)^2}); 
\draw[line width=1.6pt, cyan] plot[smooth,domain=0:4] (\x, {sqrt(\x)}); 
\draw[dashed , yellow!80!black , line width=1.6pt] (0, 0) -- (4, 4); 
\draw (0, 0) node[below left]{0}; 
\draw (1, 1) node[above left]{A}; 
\draw (2, 4) node[right]{f}; 
\draw (4, 2) node[above]{g}; 
\draw (4, 4) node[right]{y=x}; 
\end{tikzpicture}}
δεν είναι σταθερό. Μάλιστα , επειδή \alpha>0 το εμβαδόν ισούται με \displaystyle{\mathrm{E}(\Omega) = \frac{1}{3\alpha^2}}. Το ερώτημα είναι γιατί;


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1957
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Δύο παραβολές 3

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Πέμ Ιουν 03, 2021 6:47 pm

Εδώ Αποστόλη ξεκάθαρο δεν μου είναι όπως και πριν άλλωστε, αλλά επιχειρώντας ανάλογη προσέγγιση πάλι με την αλλαγή μεταβλητών x\to\frac{1}{a}X και y\to\frac{1}{a}Y

οι καμπύλες γίνονται αντίστοιχα

y=x^2 και y=\sqrt{x}

ενώ το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται είναι το E=\int_{0}^{1} \sqrt{X}-X^2dX=\frac{1}{3}

Ο γεωμετρικός τόπος του σημείου τομής τους είναι η ευθεία y=x και σε οποιοδήποτε σημείο το εμβαδόν του χωρίου που σχηματίζει με τις κάθετες προβολές στους άξονες είναι ίσο με E=\frac{1}{a}\frac{1}{a}=\frac{1}{a^2} το οποίο είναι μεταβλητό .

Εδώ φαίνεται να κληρονομείται η μεταβλητότητα και μάλιστα η απάντηση που έχουμε στο αρχικό εμβαδόν φαίνεται να είναι το γινόμενο του "καθαρού" με το μεταβλητό.

Υ.Γ. Μακάρι να πέσει το μάτι κανενός Μαθηματικού σε αυτήν την δημοσίευση μπας και μας δώσει τα φώτα του και μάθουμε και τίποτα.
τελευταία επεξεργασία από Christos.N σε Παρ Ιουν 04, 2021 11:23 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1957
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Δύο παραβολές 3

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Παρ Ιουν 04, 2021 11:22 am

Christos.N έγραψε:
Πέμ Ιουν 03, 2021 6:47 pm

Εδώ φαίνεται να κληρονομείται η μεταβλητότητα και μάλιστα η απάντηση που έχουμε στο αρχικό εμβαδόν φαίνεται να είναι το γινόμενο του "καθαρού" με το μεταβλητό.

'Όπου το παραπάνω δικαιολογείται καθώς γενικότερα με τους μετασχηματισμούς x\to h(a)X,~y\to g(a)Y το ολοκλήρωμα που εκφράζει το εμβαδόν γίνεται

\int_{0}^{h(a)}y_1-y_2dx=\int_{0}^{1}g(a)(Y_1-Y_2)h(a)dX=g(a)h(a)\int_{0}^{1}Y_1-Y_2dX

Τα παραπάνω πάντα με την προϋπόθεση ότι το σημείο τομής είναι το (h(a),g(a)).


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 738
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Δύο παραβολές 3

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Παρ Ιουν 04, 2021 6:11 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Ιουν 01, 2021 1:21 pm
Δύο παραβολές 3.pngΟ αριθμός a είναι θετικός . Οι παραβολές με εξισώσεις : y=ax^2 και : y^2=ax , τέμνονται

στα σημεία O και A . α) Βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που σχηματίζουν οι δύο καμπύλες .
Ας το κάνουμε όπως ο τρισμέγιστος Αρχιμήδης.

Στο σχήμα της εικόνας (το Γ είναι το μέσο του ΟΔ) θα υπολογίσουμε το E_{OAB} και θα δείξουμε ότι είναι ανεξάρτητο

της παραμέτρου a. Ο Αρχιμήδης έδειξε ότι το εμβαδόν του παραβολικού χωρίου OABO είναι

\dfrac{4}{3}E_{OAB}. Από τις συντεταγμένες των O,A,B βρίσκουμε ότι E_{OAB}=\dfrac{1}{8}.

Το ζητούμενο εμβαδόν θα είναι τελικά 2\cdot \dfrac{4}{3}\cdot \dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{3}. Αν το δούμε αλλιώς έχουμε

ότι το B κινείται στην υπερβολή xy=1/8 και επομένως E_{OB\Gamma } σταθερό και ίσο

με 1/16. Όμοια βρίσκουμε ότι E_{OA\Delta }=\dfrac{1}{2} αφού το Α κινείται στην υπερβολή

xy=1. Επίσης, από τον τύπο E=\dfrac{B+\beta }{2}\upsilon βρίσκουμε ότι

E_{AB\Gamma \Delta }=\dfrac{5}{16}. Τελικά και το E_{OAB} σταθερό.Όλα σταθερά λοιπόν.
Συνημμένα
ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ.JPG
ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ.JPG (28.81 KiB) Προβλήθηκε 251 φορές


Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1957
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Δύο παραβολές 3

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Κυρ Ιουν 06, 2021 8:33 pm

Θα συνεχίσω λίγο το εξής, εκτός από τους μετασχηματισμούς κανονικοποίησης που λαμβάνουν υπόψιν τους το σημείο τομής π.χ.
Christos.N έγραψε:
Πέμ Ιουν 03, 2021 3:09 pm


Πράγματι αν x\to \sqrt[3]{\frac{1}{a}}X και y \to \sqrt[3]{a}Y τότε οι δύο παραβολές καταλήγουν στις

Y=X^2 και X=Y^2 ...
όπου αναφέρομαι στο αρχικό πρόβλημα πάντα, θα μπορούσαμε να βρούμε την αλλαγή μεταβλητών που απαλείφουν την παράμετρο a και ως εξής:

Έστω x=kX,~y=lY τότε έχουμε Y^2=\frac{ak}{l^2}X,~Y=\frac{ak^2}{l}X^2 απαιτώντας να ισχύει   \frac{ak}{l^2}=\frac{ak^2}{l}=1 και λύνοντας τα συστήματα προκύπτει και ο αρχικός μετασχηματισμός μας.


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης