Τύπος συνάρτησης

Tolaso J Kos · #1

Έστω η

και η άρτια συνάρτηση $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ για την οποία ισχύει

$\displaystyle{2 f \left ( x+y \right ) = f \left ( f\left ( f(x) \right ) \right ) + f \left ( f \left ( f(y) \right ) \right ) \quad \text{\gr για κάθε} \;\; x , y \in \mathbb{R}}$
Οι $\mathcal{C}_f$ , $\mathcal{C}_g$ έχουν ακριβώς δύο κοινά σημεία και το εμβαδόν του χωρίου $\Omega$ που περικλείεται των $\mathcal{C}_f$ , $\mathcal{C}_g$ είναι $\frac{4}{3}$ τ.μ. Να βρεθεί ο τύπος της

.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 08, 2021 2:43 pm
Έστω η και η άρτια συνάρτηση $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ για την οποία ισχύει

$\displaystyle{2 f \left ( x+y \right ) = f \left ( f\left ( f(x) \right ) \right ) + f \left ( f \left ( f(y) \right ) \right ) \quad \text{\gr για κάθε} \;\; x , y \in \mathbb{R}}$
Οι $\mathcal{C}_f$ , $\mathcal{C}_g$ έχουν ακριβώς δύο κοινά σημεία και το εμβαδόν του χωρίου $\Omega$ που περικλείεται των $\mathcal{C}_f$ , $\mathcal{C}_g$ είναι $\frac{4}{3}$ τ.μ. Να βρεθεί ο τύπος της .

Θέτω $y\rightarrow -y$ στην δοσμένη οπότε αφού η

άρτια έχω

για κάθε

πραγματικούς. $x\rightarrow x+y: f(x)=f(x+2y)$ οπότε αφού για

σταθερό το x+2y

διατρέχει όλο το $\mathbb{R}$ έχω ότι η

σταθερή. Έστω f(x)=t^2>0

(προκειμένου να τέμνει την C_g

).
Αλλά τώρα g(x)=(x+1)^2

οπότε αρκεί να κάνω την ίδια δουλειά για τις f,h(x)=x^2

. (το εμβαδό που περικλείουν θα είναι προφανώς το ίδιο με τις f,g

)
Το σχήμα έχει ως εξής :

: 35.PNG (21.71 KiB) Προβλήθηκε 437 φορές

Έχουμε τώρα $\displaystyle \int_{-t}^{t}x^2dx=2t\cdot t^2-4/3 \Leftrightarrow \left ( \dfrac{t^3}{3}-\dfrac{(-t)^3}{ 3} \right )=2t^3-4/3\Leftrightarrow$
$4/3=t^3(2-2/3)=\dfrac{4t^3}{3}\Leftrightarrow t^3=1$
δηλαδή t=1

, οπότε $f(x)\equiv 1$ .

Τύπος συνάρτησης

Τύπος συνάρτησης

Re: Τύπος συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση