Εμβαδό χωρίου

Συντονιστής: R BORIS

Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2869
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Εμβαδό χωρίου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Σάβ Μάιος 08, 2021 11:00 am

Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln^2(x)-1. Με ποια εκφώνηση θα βρίσκαμε το εμβαδό των γραμμοσκιασμένων χωρίων σε κάθε περίπτωση;
Έχω άποψη, αλλά δεν θέλω να σας επηρεάσω.
Συνημμένα
emb4a.png
emb4a.png (25.46 KiB) Προβλήθηκε 544 φορές
emb4.png
emb4.png (23.3 KiB) Προβλήθηκε 544 φορές
τελευταία επεξεργασία από Πρωτοπαπάς Λευτέρης σε Σάβ Μάιος 08, 2021 7:13 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13371
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Εμβαδό χωρίου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Μάιος 08, 2021 11:11 am

Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε:
Σάβ Μάιος 08, 2021 11:00 am
Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln^2(x)-1. Με ποια εκφώνηση θα βρίσκαμε το εμβαδό των γραμμοσκιασμένων χωρίων σε κάθε περίπτωση;
Έχω άποψη, αλλά δεν θέλω να προκαταβάλλω.
Μία εκφώνηση θα ήταν α) ... από την μικρότερη ρίζα έως το 3, β) ... από την μεγαλύτερη ρίζα έως το 3.

Εδώ, με βάση το σχήμα, έχουμε να υπολογίσουμε τα \displaystyle{ a) \int_{1/e}^3|\ln^2(x)-1| \,dx,\,  b) \,  \int_{e}^3(\ln^2(x)-1) \,dx,\, }
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Σάβ Μάιος 08, 2021 5:21 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1949
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Εμβαδό χωρίου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Σάβ Μάιος 08, 2021 11:13 am

Στην πρώτη περίπτωση , του χωρίου μεταξύ της C_f του άξονα x'x και της ευθείας χ=3.

Στην δεύτερη περίπτωση, του χωρίου που βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο μεταξύ της C_f του άξονα x'x και της ευθείας x=3.
Εναλλακτικά, του χωρίου μεταξύ της C_f του άξονα x'x και της ευθείας x=3 στο οποίο ισχύει f(x)\ge0.

Υ.Γ Για το δεύτερο έξω από τα σχολικά πλαίσια θα μπορούσαμε να πούμε και για το θετικά προσημασμένο χωρίο μεταξύ της C_f του άξονα x'x και της ευθείας x=3


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2869
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Εμβαδό χωρίου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Σάβ Μάιος 08, 2021 12:20 pm

Christos.N έγραψε:
Σάβ Μάιος 08, 2021 11:13 am
Στην πρώτη περίπτωση , του χωρίου μεταξύ της C_f του άξονα x'x και της ευθείας χ=3.

Στην δεύτερη περίπτωση, του χωρίου που βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο μεταξύ της C_f του άξονα x'x και της ευθείας x=3.
Εναλλακτικά, του χωρίου μεταξύ της C_f του άξονα x'x και της ευθείας x=3 στο οποίο ισχύει f(x)\ge0.

Υ.Γ Για το δεύτερο έξω από τα σχολικά πλαίσια θα μπορούσαμε να πούμε και για το θετικά προσημασμένο χωρίο μεταξύ της C_f του άξονα x'x και της ευθείας x=3
Χρήστο χαιρετώ.

Ευχαριστώ για την απάντηση.

Θα διαφωνήσω πολύ με την πρώτη προσέγγιση. Όταν ζητάμε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από 3 καμπύλες δεν είναι δεδομένο ότι το χωρίο αποτελείται ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΑ και ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΑ από τις 3 καμπύλες; Στην περίπτωση αυτή το χωρίο είναι το άθροισμα των χωρίων που προκύπτει από: το χωρίο που δημιουργείται από ΔΥΟ καμπύλες και το χωρίο που δημιουργείται από ΤΡΕΙΣ καμπύλες. Νομίζω ότι και η πρώτη έκφραση που προτείνεις είναι για το δεύτερο χωρίο.

Κατά τη γνώμη μου το πρώτο χωρίο μπορεί να εκφραστεί σωστά ως εξής:
Να βρεθεί το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη C_f και τον x'x μαζί με το χωρίο που περικλείεται από τη C_f, τον άξονα x'x και την ευθεία με εξίσωση x=3.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Τσιαλας Νικολαος
Δημοσιεύσεις: 590
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm

Re: Εμβαδό χωρίου

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος » Σάβ Μάιος 08, 2021 1:33 pm

Καλησπέρα! Θα συμφωνήσω και με τον κύριο Μιχάλη και με τον κύριο Χρίστο


Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2869
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Εμβαδό χωρίου

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Σάβ Μάιος 08, 2021 3:25 pm

Τσιαλας Νικολαος έγραψε:
Σάβ Μάιος 08, 2021 1:33 pm
Καλησπέρα! Θα συμφωνήσω και με τον κύριο Μιχάλη και με τον κύριο Χρίστο
Σας ευχαριστώ για την απάντησή σας.

Προφανώς η προσέγγιση του κυρίου Λάμπρου είναι σωστή.

Προσπαθώ να καταλάβω κάτι: Στο πρώτο σχήμα το ροζ χωρίο δημιουργείται από τις 3 ζητούμενες καμπύλες και ΜΟΝΟ;

Σας ευχαριστώ εκ των προτέρων.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Τσιαλας Νικολαος
Δημοσιεύσεις: 590
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm

Re: Εμβαδό χωρίου

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος » Σάβ Μάιος 08, 2021 11:45 pm

Θα προσπαθήσω να δώσω τις 3 "σχολικές" περιπτώσεις στις οποίες αναφέρεται η έκφραση "να βρεθεί το χωρίο ανάμεσα στην γραφική παράσταση της f, τον x'x και...
1) Αν η εκφώνηση αναφέρει μόνο αυτό, τότε ουσιαστικά ζητάει το ολοκλήρωμα απο την μικρότερη λύση έως την μεγαλύτερη της f
2)Αν δίνει και ευθεία x=c η οποία βρίσκεται "δεξιότερα" της μεγαλύτερης λύσης της f τότε ζητάει το ολοκλήρωμα απο την μικρότερη λύση έως το c
3)Αν δίνει ευθεία x=c η οποία βρίσκεται "αριστερά" της μικρότερης λύσης της f τότε ζητάει το ολοκλήρωμα από το c έως την μεγαλύτερη λύση.
Φυσικά και στις 3 περιπτώσεις επειδή μιλάμε για εμβαδό, μέσα στο ολοκλήρωμα έχουμε την απόλυτη τιμή της f.
Ελπίζω να βοήθησα


Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2869
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Εμβαδό χωρίου

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Κυρ Μάιος 09, 2021 10:24 am

Τσιαλας Νικολαος έγραψε:
Σάβ Μάιος 08, 2021 11:45 pm
Θα προσπαθήσω να δώσω τις 3 "σχολικές" περιπτώσεις στις οποίες αναφέρεται η έκφραση "να βρεθεί το χωρίο ανάμεσα στην γραφική παράσταση της f, τον x'x και...
1) Αν η εκφώνηση αναφέρει μόνο αυτό, τότε ουσιαστικά ζητάει το ολοκλήρωμα απο την μικρότερη λύση έως την μεγαλύτερη της f
2)Αν δίνει και ευθεία x=c η οποία βρίσκεται "δεξιότερα" της μεγαλύτερης λύσης της f τότε ζητάει το ολοκλήρωμα απο την μικρότερη λύση έως το c
3)Αν δίνει ευθεία x=c η οποία βρίσκεται "αριστερά" της μικρότερης λύσης της f τότε ζητάει το ολοκλήρωμα από το c έως την μεγαλύτερη λύση.
Φυσικά και στις 3 περιπτώσεις επειδή μιλάμε για εμβαδό, μέσα στο ολοκλήρωμα έχουμε την απόλυτη τιμή της f.
Ελπίζω να βοήθησα
Ευχαριστώ και πάλι για την απάντηση. Προφανώς και καταλαβαίνω το σκεπτικό σας και του Χρήστου. Κατά τη γνώμη μου η έκφραση δεν λέει αυτό που περιγράφετε. Το ερώτημα είναι το εξής: Με ποια εκφώνηση (με τα δεδομένα του σχολικού) θα πάρουμε το πρώτο σχήμα και προφανώς να μην δώσουμε το δεύτερο άκρο.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4891
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Εμβαδό χωρίου

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Κυρ Μάιος 09, 2021 11:36 am

Καλημέρα σε όλους.
Λευτέρη, στο βιβλίο Γεωμετρίας Β' Λυκείου γίνεται σαφής διάκριση πολυγωνικού χωρίου και πολυγωνικής επιφάνειας ως το σχήμα που αποτελείται από πεπερασμένο πλήθος πολυγωνικών χωρίων, που ανά δύο δεν έχουν κοινά εσωτερικά σημεία(σ. 70).

Στο βιβλίο της Γ΄ Λυκείου, που αναφέρεται σε καμπυλόγραμμα χωρία, δε γίνεται τέτοια διάκριση.
Έτσι, στη σελίδα 227 έχει παράδειγμα ίδιο με αυτό που αναφέρεις παραπάνω, όπως επίσης και η εφαρμογή σ. 228 και μερικές ασκήσεις.
Νομίζω, λοιπόν, ότι το σχολικό βιβλίο αποδέχεται ως χωρίο και το άθροισμα χωρίων, που έχουν κοινό σημείο.

Ομολογώ ότι ποτέ δεν εντόπισα κάποια δυσκολία να κατανοήσω τι εννοεί μια τέτοια εκφώνηση, ούτε μού πέρασε από το μυαλό να προτείνω τροποποίησή της (ως άθροισμα διακριτών χωρίων).

Με την επιφύλαξη να μην κατάλαβα το σκεπτικό της αρχικής ανάρτησης, εικάζω ότι ο Λευτέρης εννοεί, και εδώ συμφωνώ, ότι πρέπει να ορίζονται με σαφήνεια τα όρια ολοκλήρωσης. Έτσι, στο 1ο σχήμα έπρεπε να δοθεί ως κάτω όριο ολοκλήρωσης το x = 1/e και στο 2ο σχήμα το x = e.
Δείτε π.χ. στο 1ο παράδειγμα παρακάτω ότι αναφέρει και την ευθεία x = 1, παρότι τέμνονται εκεί τα γραφήματα. Στο 2ο αν π.χ. δεν δινόνταν το αριστερό όριο ολοκλήρωσης x = 0, τι θα υπολογίζαμε, αφού έχουμε άπειρα σημεία τομής των καμπυλών;

09-05-2021 Εμβαδόν χωρίου.jpg
09-05-2021 Εμβαδόν χωρίου.jpg (61.78 KiB) Προβλήθηκε 252 φορές
09-05-2021 Εμβαδόν χωρίου 2.jpg
09-05-2021 Εμβαδόν χωρίου 2.jpg (87.79 KiB) Προβλήθηκε 252 φορές


Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2869
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Εμβαδό χωρίου

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Κυρ Μάιος 09, 2021 9:08 pm

Γιώργο χαιρετώ.

Καταλαβαίνεις ότι τα παραδείγματα που φέρνεις δίνουν και τα δύο άκρα, το οποίο αν θες τη γνώμη μου είναι το πιο τίμιο.

Στο παράδειγμα που έφερα δίνεται μόνο το ένα.

Αυτό που καταλαβαίνω είναι ότι παρόλο που κατά τη γνώμη μου είναι ξεκάθαρο ότι μιλά για το μικρό τριγωνάκι, υπάρχει σύμβαση να συμπεριλαμβάνεται και το χωρίο που περικλείεται μόνο από C_f και x'x. Βοηθήματα το δίνουν με τον τρόπο που περιέγραψε ο Χρήστος και ο κ. Τσιάλας.

Σας ευχαριστώ θερμά για την ενασχόληση.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης