Ολοκλήρωμα

Tolaso J Kos · #1

Έστω $f:[0, 1] \rightarrow \mathbb{R}$ με f'(x)>0

για κάθε $x \in [0, 1]$ . Αν f(0)=1

και $f(x) = \left ( f'(x) \right )^2$ για κάθε $x \in [0, 1]$ . Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int_0^1 f(x) \, \mathrm{d}x}$

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 01, 2021 12:02 pm
Έστω $f:[0, 1] \rightarrow \mathbb{R}$ με για κάθε $x \in [0, 1]$ . Αν και $f(x) = \left ( f'(x) \right )^2$ για κάθε $x \in [0, 1]$ . Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int_0^1 f(x) \, \mathrm{d}x}$

Μπορούμε καλύτερα, αφού αρκετά απλά μπορούμε να βρούμε την ίδια την

.

H

είναι γνήσια αύξουσα αφού f'(x) >0

, και άρα $f(x)\ge f(0) =1$ (πάντως θετικό). Από την δοθείσα $f'(x) = +\sqrt {f(x)}$ , όποτε η

παραγωγίσιμη (αφού η ίση της είναι παραγωγίσιμη).

Παραγωγίζοντας την δοθείσα έχουμε f' (x)= 2f'(x)f''(x)

και άρα

. Έπεται από αυτήν $f'(x) = \dfrac {1}{2} x+c$ . Αλλά (f'(0))^2 = f(0)=1

, άρα

και

. Έτσι $f'(x) = \dfrac {1}{2} x+1$ , οπότε $f(x) = \dfrac {1}{4} x^2 +x+d$ και αφού f(0)=1

έχουμε

. Tελικά $f(x) = \dfrac {1}{4} x^2 +x+1$ .

Christos.N · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 01, 2021 1:23 pm

Μπορούμε καλύτερα, αφού αρκετά απλά μπορούμε να βρούμε την ίδια την .

H είναι γνήσια αύξουσα αφού , και άρα $f(x)\ge f(0) =1$ (πάντως θετικό). Από την δοθείσα $f'(x) = +\sqrt {f(x)}$

μια μικρή παραλλαγή, $f(x)\neq0$ άρα $\frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}=\frac{1}{2}\Rightarrow \{\sqrt{f(x)}\}'=\frac{1}{2}.......$

Ολοκλήρωμα

Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση