Ολοκλήρωμα

Συντονιστής: R BORIS

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4561
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Ολοκλήρωμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Φεβ 01, 2021 12:02 pm

Έστω f:[0, 1] \rightarrow \mathbb{R} με f'(x)>0 για κάθε x \in [0, 1]. Αν f(0)=1 και f(x) = \left ( f'(x) \right )^2 για κάθε x \in [0, 1]. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

\displaystyle{\mathcal{J} = \int_0^1 f(x) \, \mathrm{d}x}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13275
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκλήρωμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Φεβ 01, 2021 1:23 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Δευ Φεβ 01, 2021 12:02 pm
Έστω f:[0, 1] \rightarrow \mathbb{R} με f'(x)>0 για κάθε x \in [0, 1]. Αν f(0)=1 και f(x) = \left ( f'(x) \right )^2 για κάθε x \in [0, 1]. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

\displaystyle{\mathcal{J} = \int_0^1 f(x) \, \mathrm{d}x}
Μπορούμε καλύτερα, αφού αρκετά απλά μπορούμε να βρούμε την ίδια την f.

H f είναι γνήσια αύξουσα αφού f'(x) >0, και άρα f(x)\ge f(0) =1 (πάντως θετικό). Από την δοθείσα f'(x) = +\sqrt {f(x)} , όποτε η f' παραγωγίσιμη (αφού η ίση της είναι παραγωγίσιμη).

Παραγωγίζοντας την δοθείσα έχουμε f' (x)= 2f'(x)f''(x) και άρα 2f''(x)=1. Έπεται από αυτήν f'(x) = \dfrac {1}{2} x+c. Αλλά (f'(0))^2 = f(0)=1, άρα f'(0) =1 και c=1. Έτσι f'(x) = \dfrac {1}{2} x+1, οπότε f(x) = \dfrac {1}{4} x^2 +x+d και αφού f(0)=1 έχουμε d=1. Tελικά f(x) = \dfrac {1}{4} x^2 +x+1.


Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1921
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Ολοκλήρωμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Δευ Φεβ 01, 2021 5:12 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Δευ Φεβ 01, 2021 1:23 pm

Μπορούμε καλύτερα, αφού αρκετά απλά μπορούμε να βρούμε την ίδια την f.

H f είναι γνήσια αύξουσα αφού f'(x) >0, και άρα f(x)\ge f(0) =1 (πάντως θετικό). Από την δοθείσα f'(x) = +\sqrt {f(x)}
μια μικρή παραλλαγή, f(x)\neq0 άρα \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}=\frac{1}{2}\Rightarrow \{\sqrt{f(x)}\}'=\frac{1}{2}.......


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης