Ένα ολοκλήρωμα

Tolaso J Kos · #1

Έστω $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής και τέτοια ώστε

$\displaystyle{f(x) + 2f \left ( \frac{2x-1}{x+1} \right ) = \frac{x}{\left ( x+1 \right ) \left ( x^2+4 \right )} \quad \text{\gr για κάθε} \;\; x \neq -1}$
Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle \mathcal{J} = \int_3^4 f \left ( \frac{x-2}{2x-1} \right )\, \mathrm{d} x$ .

Δε πρόλαβα να τη κοιτάξω... ίσως να μην είναι και για το φάκελο.

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 14, 2020 10:33 pm
Έστω $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής και τέτοια ώστε

$\displaystyle{f(x) + 2f \left ( \frac{2x-1}{x+1} \right ) = \frac{x}{\left ( x+1 \right ) \left ( x^2+4 \right )} \quad \text{\gr για κάθε} \;\; x \neq -1}$
Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle \mathcal{J} = \int_3^4 f \left ( \frac{x-2}{2x-1} \right )\, \mathrm{d} x$ .

Δε πρόλαβα να τη κοιτάξω... ίσως να μην είναι και για το φάκελο.

Πιθανότατα να υπάρχει κάποιο τρυκ που δε μπορώ να δω και οδηγεί σε σύντομη λύση. Η δική μου έχει δύο βήματα

Α) Βρίσκουμε την

κάτι που ίσως έχει κάποιο ενδιαφέρον Β) Υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα που ζητείται που είναι μάλλον αδιάφορο.
Ας ονομάσουμε
$\displaystyle r\left( x\right) =\frac{2x-1}{x+1}$ και
$\displaystyle \sigma \left( x\right) =\frac{x}{\left( x+1\right) \left( x^{2}+1\right) }$ .
Απο την υπόθεση έχουμε:
$\displaystyle f\left( x\right) +2f\left( r\left( x\right) \right) =\sigma \left( x\right) \,\,\,\,\,(1)$
Ισχύει:
$x\overset{r}{\rightarrow }\frac{2x-1}{x+1}\overset{r}{\rightarrow }\allowbreak \frac{x-1}{x}\overset{r}{\rightarrow }-\frac{1}{x-1}\overset{r}{\rightarrow }-\frac{x+1}{x-2}\overset{r}{\rightarrow }\allowbreak x$
Ας χρησιμοποιήσουμε τον, προσωρινό, συμβολισμό
$r^{\left\{ m\right\} }=\underset{m}{\underbrace{r\circ ...\circ r}}$
Αντικαθιστώντας στην (1)

διαδοχικά το r(x)

και εργαζόμενοι για

διάφορο των -1, 0, 1, 2

έχουμε:
$f\left( x\right) +2f\left( r\left( x\right) \right) =\sigma \left( x\right)$
$f\left( r\left( x\right) \right) +2f\left( r^{\left\{ 2\right\} }\left( x\right) \right) =\sigma \left( r\left( x\right) \right)$
$f\left( r^{\left\{ 2\right\} }\left( x\right) \right) +2f\left( r^{\left\{ 3\right\} }\left( x\right) \right) =\sigma \left( r^{\left\{ 2\right\} }\left( x\right) \right)$
$f\left( r^{\left\{ 3\right\} }\left( x\right) \right) +2f\left( r^{\left\{ 4\right\} }\left( x\right) \right) =\sigma \left( r^{\left\{ 3\right\} }\left( x\right) \right)$
$f\left( r^{\left\{ 4\right\} }\left( x\right) \right) +2f\left( x\right) =\sigma \left( r^{\left\{ 4\right\} }\left( x\right) \right)$
Τα δεύτερα μέλη στις παραπάνω σχέσεις είναι γνωστά. Τα πρώτα μέλη απαρτίζονται από άγνωστους προσθετέους. Ως προς αυτούς οι σχέσεις ορίζουν ένα κυκλικό σύστημα που η επίλυση του είναι γνωστή.
Είναι
$\boxed{ \displaystyle{ f\left( x\right) =\frac{\sigma \left( x\right) -2\sigma \left( r\left( x\right) \right) +4\sigma \left( r^{\left\{ 2\right\} }\left( x\right) \right) -8\sigma \left( r^{\left\{ 3\right\} }\left( x\right) \right) +16\sigma \left( r^{\left\{ 4\right\} }\left( x\right) \right) }{33} }}$
και επομένως η

είναι γνωστή.
Β) Το ολοκλήρωμα $\int_{3}^{4}f\left( \frac{x-1}{2x-1}\right) dx$ είναι ολοκλήρωμα ρητής συνάρτησης και για αυτά διαθέτουμε έτοιμους αλγόριθμους. Απλώς λόγω της $\sigma$ ο υπολογισμός του είναι μπελάς. Τον ανέθεσα στο Maple το οποίο έδωσε
$\int_{3}^{4}f\left( \frac{x-1}{2x-1}\right) dx=\allowbreak -\frac{577}{14\,850}\ln 5+\frac{92}{2475}\ln 17-\frac{1187}{29\,700}\ln 2-\frac{4}{825}\allowbreak \arctan 13-\frac{1}{33}\arctan 5-\frac{1}{54}\ln 7+\frac{7}{1650}\arctan 12+\allowbreak \frac{4}{297}\ln 11+\frac{4}{825}\arctan 18+\frac{2}{99}\arctan 7+\frac{4}{99}\allowbreak \arctan 15-\frac{2}{99}\ln 113+\frac{91}{4950}\ln 13-\frac{4}{99}\arctan 21+\allowbreak \frac{1}{99}\arctan 10+\frac{1}{99}\ln 3+\frac{1}{198}\ln 101-\frac{7}{1650}\arctan 17+\allowbreak \frac{41}{165}$

Αν τα παραπάνω είναι σωστά τότε η άσκηση είνα ακατάλληλη για αυτό τον φάκελο.

Ένα ολοκλήρωμα

Ένα ολοκλήρωμα

Re: Ένα ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση