Ένα ολοκλήρωμα

Συντονιστής: R BORIS

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4653
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Ένα ολοκλήρωμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Νοέμ 14, 2020 10:33 pm

Έστω f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} συνεχής και τέτοια ώστε

\displaystyle{f(x) + 2f \left ( \frac{2x-1}{x+1}  \right ) = \frac{x}{\left ( x+1 \right ) \left ( x^2+4 \right )} \quad \text{\gr για κάθε} \;\; x \neq -1}
Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα \displaystyle \mathcal{J} = \int_3^4 f \left ( \frac{x-2}{2x-1} \right )\, \mathrm{d} x .


Δε πρόλαβα να τη κοιτάξω... ίσως να μην είναι και για το φάκελο.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4357
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Ένα ολοκλήρωμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Τετ Δεκ 23, 2020 9:16 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Σάβ Νοέμ 14, 2020 10:33 pm
Έστω f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} συνεχής και τέτοια ώστε

\displaystyle{f(x) + 2f \left ( \frac{2x-1}{x+1}  \right ) = \frac{x}{\left ( x+1 \right ) \left ( x^2+4 \right )} \quad \text{\gr για κάθε} \;\; x \neq -1}
Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα \displaystyle \mathcal{J} = \int_3^4 f \left ( \frac{x-2}{2x-1} \right )\, \mathrm{d} x .


Δε πρόλαβα να τη κοιτάξω... ίσως να μην είναι και για το φάκελο.
Πιθανότατα να υπάρχει κάποιο τρυκ που δε μπορώ να δω και οδηγεί σε σύντομη λύση. Η δική μου έχει δύο βήματα

Α) Βρίσκουμε την f κάτι που ίσως έχει κάποιο ενδιαφέρον Β) Υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα που ζητείται που είναι μάλλον αδιάφορο.
Ας ονομάσουμε
\displaystyle r\left( x\right) =\frac{2x-1}{x+1} και
\displaystyle \sigma \left( x\right) =\frac{x}{\left( x+1\right) \left( x^{2}+1\right) }.
Απο την υπόθεση έχουμε:
\displaystyle f\left( x\right) +2f\left( r\left( x\right) \right) =\sigma \left( x\right) \,\,\,\,\,(1)
Ισχύει:
x\overset{r}{\rightarrow }\frac{2x-1}{x+1}\overset{r}{\rightarrow }\allowbreak \frac{x-1}{x}\overset{r}{\rightarrow }-\frac{1}{x-1}\overset{r}{\rightarrow }-\frac{x+1}{x-2}\overset{r}{\rightarrow }\allowbreak x
Ας χρησιμοποιήσουμε τον, προσωρινό, συμβολισμό
r^{\left\{ m\right\} }=\underset{m}{\underbrace{r\circ ...\circ r}}
Αντικαθιστώντας στην (1) διαδοχικά το r(x) και εργαζόμενοι για x διάφορο των -1, 0, 1, 2 έχουμε:
f\left( x\right) +2f\left( r\left( x\right) \right) =\sigma \left( x\right)
f\left( r\left( x\right) \right) +2f\left( r^{\left\{ 2\right\} }\left( x\right) \right) =\sigma \left( r\left( x\right) \right)
f\left( r^{\left\{ 2\right\} }\left( x\right) \right) +2f\left( r^{\left\{ 3\right\} }\left( x\right) \right) =\sigma \left( r^{\left\{ 2\right\} }\left( x\right) \right)
f\left( r^{\left\{ 3\right\} }\left( x\right) \right) +2f\left( r^{\left\{ 4\right\} }\left( x\right) \right) =\sigma \left( r^{\left\{ 3\right\} }\left( x\right) \right)
f\left( r^{\left\{ 4\right\} }\left( x\right) \right) +2f\left( x\right) =\sigma \left( r^{\left\{ 4\right\} }\left( x\right) \right)
Τα δεύτερα μέλη στις παραπάνω σχέσεις είναι γνωστά. Τα πρώτα μέλη απαρτίζονται από άγνωστους προσθετέους. Ως προς αυτούς οι σχέσεις ορίζουν ένα κυκλικό σύστημα που η επίλυση του είναι γνωστή.
Είναι
\boxed{ \displaystyle{ f\left( x\right) =\frac{\sigma \left( x\right) -2\sigma \left( r\left( x\right) \right) +4\sigma \left( r^{\left\{ 2\right\} }\left( x\right) \right) -8\sigma \left( r^{\left\{ 3\right\} }\left( x\right) \right) +16\sigma \left( r^{\left\{ 4\right\} }\left( x\right) \right) }{33} }}
και επομένως η f είναι γνωστή.
Β)
Το ολοκλήρωμα \int_{3}^{4}f\left( \frac{x-1}{2x-1}\right) dx είναι ολοκλήρωμα ρητής συνάρτησης και για αυτά διαθέτουμε έτοιμους αλγόριθμους. Απλώς λόγω της \sigma ο υπολογισμός του είναι μπελάς. Τον ανέθεσα στο Maple το οποίο έδωσε
\int_{3}^{4}f\left( \frac{x-1}{2x-1}\right) dx=\allowbreak -\frac{577}{14\,850}\ln 5+\frac{92}{2475}\ln 17-\frac{1187}{29\,700}\ln 2-\frac{4}{825}\allowbreak \arctan 13-\frac{1}{33}\arctan 5-\frac{1}{54}\ln 7+\frac{7}{1650}\arctan 12+\allowbreak \frac{4}{297}\ln 11+\frac{4}{825}\arctan 18+\frac{2}{99}\arctan 7+\frac{4}{99}\allowbreak \arctan 15-\frac{2}{99}\ln 113+\frac{91}{4950}\ln 13-\frac{4}{99}\arctan 21+\allowbreak \frac{1}{99}\arctan 10+\frac{1}{99}\ln 3+\frac{1}{198}\ln 101-\frac{7}{1650}\arctan 17+\allowbreak \frac{41}{165}

Αν τα παραπάνω είναι σωστά τότε η άσκηση είνα ακατάλληλη για αυτό τον φάκελο.


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης