Ολοκλήρωμα από συναρτησιακή

Συντονιστής: R BORIS

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1539
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Ολοκλήρωμα από συναρτησιακή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Πέμ Αύγ 27, 2020 7:41 pm

Αν η \displaystyle f είναι συνεχής στο \displaystyle R και ισχύει \displaystyle xf({{x}^{3}})+f(1-{{x}^{2}})=-{{x}^{10}}+{{x}^{6}}-2x, για κάθε \displaystyle x\in R ,
τότε το \displaystyle \int\limits_{-1}^{0}{f(x)dx} είναι ίσο με : \displaystyle A.\,\,\,-\frac{17}{20}\,\,\,\,\,\,\,\,B.\,\,\,-\frac{13}{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,C.\,\,\frac{17}{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,D.\,\,-1


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12497
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκλήρωμα από συναρτησιακή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Αύγ 28, 2020 12:47 am

exdx έγραψε:
Πέμ Αύγ 27, 2020 7:41 pm
Αν η \displaystyle f είναι συνεχής στο \displaystyle R και ισχύει \displaystyle xf({{x}^{3}})+f(1-{{x}^{2}})=-{{x}^{10}}+{{x}^{6}}-2x, για κάθε \displaystyle x\in R ,
τότε το \displaystyle \int\limits_{-1}^{0}{f(x)dx} είναι ίσο με : \displaystyle A.\,\,\,-\frac{17}{20}\,\,\,\,\,\,\,\,B.\,\,\,-\frac{13}{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,C.\,\,\frac{17}{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,D.\,\,-1
-x στην θέση του x έχουμε

\displaystyle{-xf(-{{x}^{3}})+f(1-{{x}^{2}})=-{{x}^{10}}+{{x}^{6}}+2x} που με αφαίρεση κατά μέλη από την αρχική δίνει

\displaystyle{ xf({{x}^{3}})+ xf(-{{x}^{3}}) +0 =4x}. Άρα για x\ne 0 είναι \displaystyle{ f({{x}^{3}})+ f(-{{x}^{3}}) +0 =4}. Από συνέχεια ισχύει το ίδιο και για x=0.

Αφού η x^3 είναι 1-1 και επί, έπεται \displaystyle{ f(x)+ f(-x) =4}.

Τώρα, με πολλαπλασιασμό επί x και ολοκλήρωση, η σχέση δίνει

\displaystyle \int\limits_{-1}^{0}x^2f({{x}^{3}})dx+\int\limits_{-1}^{0}xf(1-{{x}^{2}})dx=\int\limits_{-1}^{0}(-{{x}^{11}}+{{x}^{7}}-2x^2)dx ίσον γνωστό.

Στο πρώτο η αλλαγή μεταβλητής x^3=t δίνει

\displaystyle  \int\limits_{-1}^{0}x^2f({{x}^{3}})dx = \frac {1}{3} \int\limits_{-1}^{0}f(t)dt= \frac {1}{3}I

Στο δεύτερο η αλλαγή μεταβλητής 1-x^2=t δίνει

\displaystyle{ \int\limits_{-1}^{0}xf(1-{{x}^{2}})dx= +\frac {1}{2} \int _0^1f(t) dt= \frac {1}{2} \int _0^1(4-f(-t)) dt  = 2-\frac {1}{2}\int _0^1 f(-t)dt=}

\displaystyle{=2-\frac {1}{2}\int _0^1 f(-t)dt=+\frac {1}{2}\int _{-1}^0 f(s)ds = \frac {1}{2}I}, και λοιπά (ελπίζω να έκανα σωστά όλες τις πράξεις).


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3225
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ολοκλήρωμα από συναρτησιακή

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Αύγ 28, 2020 1:21 am

exdx έγραψε:
Πέμ Αύγ 27, 2020 7:41 pm
Αν η \displaystyle f είναι συνεχής στο \displaystyle R και ισχύει \displaystyle xf({{x}^{3}})+f(1-{{x}^{2}})=-{{x}^{10}}+{{x}^{6}}-2x, για κάθε \displaystyle x\in R ,
τότε το \displaystyle \int\limits_{-1}^{0}{f(x)dx} είναι ίσο με : \displaystyle A.\,\,\,-\frac{17}{20}\,\,\,\,\,\,\,\,B.\,\,\,-\frac{13}{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,C.\,\,\frac{17}{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,D.\,\,-1
Το αποτέλεσμα είναι -\frac{13}{4}.
Λίγο διαφορετικά από τον Μιχάλη.
Γράφουμε την σχέση

\displaystyle x^2f({{x}^{3}})+xf(1-{{x}^{2}})=-{{x}^{11}}+{{x}^{7}}-2x^2

Αν ολοκληρώσουμε από -1 εως 0 τότε παρουσιάζονται τα

\displaystyle \int_{-1}^{0}f(t)dt,\int_{0}^{1}f(t)dt

Αν ολοκληρώσουμε από 0 εως 1 τότε παρουσιάζεται το

\displaystyle \int_{0}^{1}f(t)dt

Ετσι υπολογίζουμε και τα δύο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης