Ψάξε ... ψάξε ... θα τη βρεις

[Tolaso J Kos]

Στο σχήμα παρακάτω η είναι και συνεχής. Για κάθε σημείο πάνω στη καμπύλη τα εμβαδά και είναι ίσα. Ποιος είναι ο τύπος της ;

106986290_742237226548767_4998575368876650462_n(1).jpg (41.7 KiB) Προβλήθηκε 1171 φορές

[george visvikis]

Το τι είναι;

[Mihalis_Lambrou]

Έστω τυπικό σημείο στην και έστω οι προβολές του στους δύο άξονες, αντίστοιχα, οπότε . Έστω ακόμη ότι η τέμνει την στο

Επειδή η διχοτομεί την και επειδή το καμπυλόγραμμο χωρίο έχει εμβαδόν έχουμε . Άρα το καμπυλόγραμμο χωρίο έχει εμβαδόν . Έπεται ότο το καμπυλόγραμμο χωρίο έχει εμβαδόν .

H προηγούμενη με χρήση ολοκληρωμάτων γράφεται (προσοχή, ολοκληρώνουμε οριζόντια αντί για κάθετα)



Παραγωγίζοντας ως προς έπεται , οπότε .

Θέτοντας προκύπτει από όπου εύκολα .

[Tolaso J Kos]

Μιχάλη , μήπως έχει κάνει κάποιο τυπογραφικό; Με ένα απλό plot στο Geogebra δε φαίνεται η να είναι τόσο. Αντιθέτως , φαίνεται ότι . Δεν έχω κάνει μέχρι τέλους τις πράξεις αλλά πήρα ακριβώς τον ίδιο δρόμο.

[Mihalis_Lambrou]

Μιχάλη , μήπως έχει κάνει κάποιο τυπογραφικό; Με ένα απλό plot στο Geogebra δε φαίνεται η να είναι τόσο. Αντιθέτως , φαίνεται ότι . Δεν έχω κάνει μέχρι τέλους τις πράξεις αλλά πήρα ακριβώς τον ίδιο δρόμο.

Έκανα ξανά τις πράξεις και δεν βρίσκω λάθος. Επίσης έκανα επαλήθευση για και βρίσκω ότι η απάντηση που δίνω είναι συμβατή. Συγκεκριμένα το και όμοια το από κάτω του καμπυλόγραμμο έχει εμβαδόν . Επίσης είναι οπότε και άρα το καμπυλόγραμμο εμβαδόν κάτω από την μέχρι το είναι . Άρα το καμπυλόγραμμο χωρίο είναι . Αυτό δίνει , όπως έπρεπε.

Αντιθέτως έκανα παρόμοιες πράξεις για την εκδοχή , οπότε , που οδηγεί σε .

Ελπίζω να μην κάνω το ίδιο λάθος πολλές φορές, οπότε να μην βλέπω που υπάρχει πρόβλημα στην λύση, αν υπάρχει.

[Tolaso J Kos]

Ελπίζω να μην κάνω το ίδιο λάθος πολλές φορές, οπότε να μην βλέπω που υπάρχει πρόβλημα στην λύση, αν υπάρχει.

Όλα καλά Μιχάλη. Το επιβεβαιώνω και γω πλέον το αποτέλεσμα. Ευχαριστώ για τη λύση.

[Tolaso J Kos]

Για όποιον θέλει το σχήμα σε tikz.

Κώδικας: Επιλογή όλων

 \begin{tikzpicture}
	   \draw[thick, ->] (0, 0) -- (4, 0) node[below]{x};
	   \draw[thick, ->] (0, 0) -- (0, 5) node[left]{y};
	   \draw (0, 0) node[below]{\mathrm{O}};
	   \draw [blue, domain=0:2] plot (\x, {\x^2}) node[right]{y=x^2};
	   \draw [cyan, domain=0:1.5] plot (\x, {2*\x^2}) node[right]{y=2x^2};
	   \draw [black, domain=0:0.9] plot(\x, {6*\x^2}) node[right]{y=f(x)};
	   \draw[fill=black] (1, 2) circle(2pt);
	   \draw (1.17, 2.2) node[left]{\mathrm{P}};
	   \draw[dashed] (1, 2) -- (1,1);
	   \draw[dashed] (1, 2) -- (0.5773, 2);
	   \draw[fill=black] (0.5773, 2) circle(2pt);
	   \draw[fill=black] (1,1) circle(2pt);
	   \draw (0.83, 0.8) node[above]{\tiny A};
	   \draw (0.65, 1.2) node[above]{\tiny B};
	\end{tikzpicture}