Ψάξε ... ψάξε ... θα τη βρεις

Συντονιστής: R BORIS

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4391
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Ψάξε ... ψάξε ... θα τη βρεις

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Ιούλ 05, 2020 6:02 pm

Στο σχήμα παρακάτω η f είναι 1-1 και συνεχής. Για κάθε σημείο \mathrm{P} πάνω στη καμπύλη y=2x^2 τα εμβαδά \mathrm{A} και \mathrm{B} είναι ίσα. Ποιος είναι ο τύπος της f;
106986290_742237226548767_4998575368876650462_n(1).jpg
106986290_742237226548767_4998575368876650462_n(1).jpg (41.7 KiB) Προβλήθηκε 644 φορές


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9679
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ψάξε ... ψάξε ... θα τη βρεις

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Ιούλ 05, 2020 6:14 pm

Το 1.5 τι είναι;


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12498
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ψάξε ... ψάξε ... θα τη βρεις

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Ιούλ 05, 2020 9:24 pm

Έστω P(a,2a^2) τυπικό σημείο στην y=2x^2 και έστω Q,R οι προβολές του P στους δύο άξονες, αντίστοιχα, οπότε Q(a,0),\, R(0,2a^2). Έστω ακόμη ότι η PR τέμνει την y=f(x) στο S

Επειδή η y=x^2 διχοτομεί την PQ και επειδή το καμπυλόγραμμο χωρίο OQP έχει εμβαδόν \int _0^a2x^2dx= \dfrac {2}{3}a^3 έχουμε B=A=\dfrac {1}{3}a^3 . Άρα το καμπυλόγραμμο χωρίο OSPQ έχει εμβαδόν B+A+A=a^3. Έπεται ότο το καμπυλόγραμμο χωρίο OSR έχει εμβαδόν OSR=OQPR-a^3=a\cdot 2a^2-a^3=a^3.

H προηγούμενη με χρήση ολοκληρωμάτων γράφεται (προσοχή, ολοκληρώνουμε οριζόντια αντί για κάθετα)

\displaystyle{\int _0^{2a^2}f^{-1}(y)dy=a^3}

Παραγωγίζοντας ως προς a έπεται f^{-1}(2a^2)\cdot 4a=3a^2, οπότε f^{-1}(2a^2)=\dfrac {3}{4} a= \dfrac {3}{4\sqrt 2}\sqrt {2a^2} .

Θέτοντας 2a^2=t προκύπτει f^{-1}(t)= \dfrac {3}{4\sqrt 2}\sqrt {t} από όπου εύκολα f(x) = \dfrac {32}{9}x^2.
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Δευ Ιούλ 06, 2020 11:03 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4391
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ψάξε ... ψάξε ... θα τη βρεις

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Ιούλ 05, 2020 11:39 pm

Μιχάλη , μήπως έχει κάνει κάποιο τυπογραφικό; Με ένα απλό plot στο Geogebra δε φαίνεται η f να είναι τόσο. Αντιθέτως , φαίνεται ότι f(x)=6x^2. Δεν έχω κάνει μέχρι τέλους τις πράξεις αλλά πήρα ακριβώς τον ίδιο δρόμο.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12498
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ψάξε ... ψάξε ... θα τη βρεις

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Ιούλ 06, 2020 12:33 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Ιούλ 05, 2020 11:39 pm
Μιχάλη , μήπως έχει κάνει κάποιο τυπογραφικό; Με ένα απλό plot στο Geogebra δε φαίνεται η f να είναι τόσο. Αντιθέτως , φαίνεται ότι f(x)=6x^2. Δεν έχω κάνει μέχρι τέλους τις πράξεις αλλά πήρα ακριβώς τον ίδιο δρόμο.
Έκανα ξανά τις πράξεις και δεν βρίσκω λάθος. Επίσης έκανα επαλήθευση για a=1 και βρίσκω ότι η απάντηση y= \frac {32}{9}x^2 που δίνω είναι συμβατή. Συγκεκριμένα το A=1/3 και όμοια το από κάτω του καμπυλόγραμμο έχει εμβαδόν 1/3. Επίσης είναι P(1,2),\, R(0,2) οπότε S(\frac { 3}{4},2) και άρα το καμπυλόγραμμο εμβαδόν κάτω από την y= \frac {32}{9}x^2 μέχρι το S είναι \frac {1}{2}. Άρα το καμπυλόγραμμο χωρίο OSR είναι 2\cdot \frac {3}{4}- \frac {1}{2}=1. Αυτό δίνει B=1-\frac {1}{3}-\frac {1}{3}= \frac {1}{3}=A, όπως έπρεπε.

Αντιθέτως έκανα παρόμοιες πράξεις για την εκδοχή y=6x^2, οπότε S(\frac {\sqrt 3}{3}, 2) , που οδηγεί σε B\ne A.

Ελπίζω να μην κάνω το ίδιο λάθος πολλές φορές, οπότε να μην βλέπω που υπάρχει πρόβλημα στην λύση, αν υπάρχει.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4391
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ψάξε ... ψάξε ... θα τη βρεις

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Ιούλ 06, 2020 10:53 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Δευ Ιούλ 06, 2020 12:33 am

Ελπίζω να μην κάνω το ίδιο λάθος πολλές φορές, οπότε να μην βλέπω που υπάρχει πρόβλημα στην λύση, αν υπάρχει.
Όλα καλά Μιχάλη. Το επιβεβαιώνω και γω πλέον το αποτέλεσμα. Ευχαριστώ για τη λύση.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4391
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ψάξε ... ψάξε ... θα τη βρεις

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Ιούλ 06, 2020 3:35 pm

Για όποιον θέλει το σχήμα σε tikz.

Κώδικας: Επιλογή όλων

 \begin{tikzpicture}
	   \draw[thick, ->] (0, 0) -- (4, 0) node[below]{x};
	   \draw[thick, ->] (0, 0) -- (0, 5) node[left]{y};
	   \draw (0, 0) node[below]{\mathrm{O}};
	   \draw [blue, domain=0:2] plot (\x, {\x^2}) node[right]{y=x^2};
	   \draw [cyan, domain=0:1.5] plot (\x, {2*\x^2}) node[right]{y=2x^2};
	   \draw [black, domain=0:0.9] plot(\x, {6*\x^2}) node[right]{y=f(x)};
	   \draw[fill=black] (1, 2) circle(2pt);
	   \draw (1.17, 2.2) node[left]{\mathrm{P}};
	   \draw[dashed] (1, 2) -- (1,1);
	   \draw[dashed] (1, 2) -- (0.5773, 2);
	   \draw[fill=black] (0.5773, 2) circle(2pt);
	   \draw[fill=black] (1,1) circle(2pt);
	   \draw (0.83, 0.8) node[above]{\tiny A};
	   \draw (0.65, 1.2) node[above]{\tiny B};
	\end{tikzpicture}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης