mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιουν 24, 2020 3:08 pm**

Να βρεθούν οι τιμές των παραμέτρων $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ ώστε να ισχύει:

$\displaystyle{\int_{0}^{\pi} \left ( \alpha x + \beta x^2 \right ) \cos \nu x \, \mathrm{d}x = \frac{1}{\nu^2} \quad \text{\gr για κάθε} \;\; \nu \in \mathbb{N}^*}$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιουν 28, 2020 8:39 pm**

$\displaystyle{\int_{0}^{\pi}axcos(nx)dx+\int_{0}^{\pi}bx^{2}cos(nx)dx={n^2}}$

μετά από 2 παραγοντικες , $\displaystyle{sin(n\pi)=0 , cos(n\pi)=(-1)^n}$ καταλήγουμε

$\displaystyle{-a+(a+2bπ)(-1)^n = 1}$

αρα $\displaystyle{a=-1,b=1/2\pi}$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιουν 28, 2020 9:50 pm**

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 24, 2020 3:08 pm
Να βρεθούν οι τιμές των παραμέτρων $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ ώστε να ισχύει:

$\displaystyle{\int_{0}^{\pi} \left ( \alpha x + \beta x^2 \right ) \cos \nu x \, \mathrm{d}x = \frac{1}{\nu^2} \quad \text{\gr για κάθε} \;\; \nu \in \mathbb{N}^*}$

Εκτός φακέλου πάρα πολύ .
Συνοπτικά.
Αν επεκτείνουμε την $f(x)=\alpha x + \beta x^2$
άρτια τότε αυτά είναι οι συντελεστές του συνημιτόνου αυτής.
Η σειρά Fourier της θα είναι

$\displaystyle \frac{a_0}{2}+\frac{2}{\pi }\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{2}}\ cos nx$

Αλλά επειδή για $0<x<2\pi$ είναι

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}\ sin nx=\frac{\pi -x}{2}$

παραγωγίζοντας βρίσκουμε τις παραμέτρους.

Το πλεονέκτημα είναι ότι βρίσκουμε την συνάρτηση χωρίς να μας δοθεί η μορφή της

mathematica.gr

Εύρεση παραμέτρων

Εύρεση παραμέτρων

Re: Εύρεση παραμέτρων

Re: Εύρεση παραμέτρων