Μηδενική συνάρτηση από μηδενικό ολοκλήρωμα
Συντονιστής: R BORIS
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Μηδενική συνάρτηση από μηδενικό ολοκλήρωμα
Έστω συνεχής συνάρτηση με την ιδιότητα για κάθε . Δείξτε ότι για κάθε .
(Προσθήκη αργότερα: Δεν είμαι βέβαιος ότι είναι εντός ύλης όπως αυτή έχει διαμορφωθεί τα τελευταία χρόνια. Εννοώ την άσκηση όπως ήταν το αναλυτικό πρόγραμμα μέχρι πρόσφατα.)
(Προσθήκη αργότερα: Δεν είμαι βέβαιος ότι είναι εντός ύλης όπως αυτή έχει διαμορφωθεί τα τελευταία χρόνια. Εννοώ την άσκηση όπως ήταν το αναλυτικό πρόγραμμα μέχρι πρόσφατα.)
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Μηδενική συνάρτηση από μηδενικό ολοκλήρωμα
Ωραία άσκηση! Δεν βλέπουμε συχνά τέτοιου είδους θέματα αλλά έχουν ενδιαφέρον!
Θεωρούμε μια παράγουσα της όπου .
Ισχύει άρα για κάθε άρα η είναι σταθερή και ταυτοτικά .
Φιξάροντας το στην και θέτοντας παίρνουμε
άρα
και τελικά αφού το διατρέχει όλους τους πραγματικούς αριθμούς.
Edit: Υπάρχει σοβαρή αβλεψία στην παραγώγιση του ολοκληρώματος, την αφήνω και για τους επόμενους να μάθουν από το λάθος
Θεωρούμε μια παράγουσα της όπου .
Ισχύει άρα για κάθε άρα η είναι σταθερή και ταυτοτικά .
Φιξάροντας το στην και θέτοντας παίρνουμε
άρα
και τελικά αφού το διατρέχει όλους τους πραγματικούς αριθμούς.
Edit: Υπάρχει σοβαρή αβλεψία στην παραγώγιση του ολοκληρώματος, την αφήνω και για τους επόμενους να μάθουν από το λάθος
τελευταία επεξεργασία από Summand σε Δευ Ιούλ 27, 2020 4:11 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Νάκος Ιωάννης, ΗΜΜΥ ΑΠΘ
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Μηδενική συνάρτηση από μηδενικό ολοκλήρωμα
Γιάννη, για ξαναδες αυτό:
Αυτό δεν ισχύει. Για παράδειγμα αν είχαμε το , ισχυρίζεσαι ότι . Όμως
που είναι άλλη απάντηση.
Είναι σαν να ισχυρίζεσαι ότι .
Αυτό δεν ισχύει. Για παράδειγμα αν είχαμε το , ισχυρίζεσαι ότι . Όμως
που είναι άλλη απάντηση.
-
- Δημοσιεύσεις: 838
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Μηδενική συνάρτηση από μηδενικό ολοκλήρωμα
Mε την αλλαγή μεταβλητής και με τη γνωστή τριγωνομετρική ταυτότηταMihalis_Lambrou έγραψε: ↑Τρί Μαρ 31, 2020 8:01 pmΈστω συνεχής συνάρτηση με την ιδιότητα για κάθε . Δείξτε ότι για κάθε .
(Προσθήκη αργότερα: Δεν είμαι βέβαιος ότι είναι εντός ύλης όπως αυτή έχει διαμορφωθεί τα τελευταία χρόνια. Εννοώ την άσκηση όπως ήταν το αναλυτικό πρόγραμμα μέχρι πρόσφατα.)
παίρνουμε
Θεωρούμε τώρα την
Ισχύει
Επίσης,
και
To ζητούμενο τώρα είναι άμεσο.
Re: Μηδενική συνάρτηση από μηδενικό ολοκλήρωμα
ιδια ασκηση
σελ 218, 4Β13 στο βιβλιο μου "Οι ασκήσεις" στα αρχεία του ή στον εκθετη του Ν Μαυρογιάννη
σελ 218, 4Β13 στο βιβλιο μου "Οι ασκήσεις" στα αρχεία του ή στον εκθετη του Ν Μαυρογιάννη
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Μηδενική συνάρτηση από μηδενικό ολοκλήρωμα
Λίγο αλλιώς προς το τέλος (δεν χρειάζεται να βρούμε την ), η μετά την απλοποίηση γράφεται
Λύνοντας το σύστημα των (έχει ορίζουσα ) θα βρούμε .
Παραγωγίζοντας είναι . Υψώνοντας στο τετράγωνο και προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε , και λοιπά.
(Την άσκηση την πήρα από παλιό Ρουμάνικο διαγωνισμό, πριν από το 1999. Μου την έστειλε πρόσφατα προς επίλυση Ρουμάνος φίλος.)
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες