Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Συντονιστής: R BORIS

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8959
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#141

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Ιαν 06, 2020 1:42 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Δευ Δεκ 30, 2019 1:08 am
Άσκηση 40

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

\displaystyle{\displaystyle{ \int \dfrac{x^{1514}}{x^{2020}+1}}}\,dx} για x>0.

(Απλή αν δεν έχεις αριθμοφοβία με τα "μεγάλα" νούμερα όπως το 2020. Προσοχή όμως, οδηγεί σε arctan, αλλά σε μορφή που το είδαμε εδώ πολλές φορές).
Για να μην μείνει αναπάντητη.

\displaystyle \int {\frac{{{{\left( {{x^{505}}} \right)}^2}({x^{504}})}}{{{{\left( {{x^{505}}} \right)}^4} + 1}}} {\rm{ }}dx και με \displaystyle u = {x^{505}} το ολοκλήρωμα γράφεται: \displaystyle \frac{1}{{505}}\int {\frac{{{u^2}}}{{{u^4} + 1}}du}

\displaystyle  \bullet \displaystyle \frac{{{u^2}}}{{{u^4} + 1}} = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\left( {A(u) - B(u)} \right), όπου \displaystyle A(u) = \frac{u}{{{u^2} - u\sqrt 2  + 1}},B(u) = \frac{u}{{{u^2} + u\sqrt 2  + 1}}

\displaystyle  \bullet \displaystyle \int {A(u)du = \int {\frac{u}{{{{\left( {u - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} + \frac{1}{2}}}{\rm{ }}} } du Θέτω \displaystyle t = u - \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow dt = du και το ολοκλήρωμα γίνεται:

\displaystyle \int {\frac{{t + \frac{{\sqrt 2 }}{2}}}{{{t^2} + \frac{1}{2}}}} dt = \int {\frac{{2t}}{{2{t^2} + 1}}dt + \sqrt 2 } \int {\frac{{dt}}{{2{t^2} + 1}}}  = \frac{1}{2}\ln (2{t^2} + 1) + \arctan (t\sqrt 2) + c

Άρα, \displaystyle \int {A(u)du = \frac{1}{2}} \ln \left( {{u^2} - u\sqrt 2  + 1} \right) + \arctan \left( {u\sqrt 2  - 1} \right) + c

\displaystyle  \bullet Ομοίως είναι \displaystyle \int {B(u)du = \frac{1}{2}} \ln \left( {{u^2} + u\sqrt 2  + 1} \right) - \arctan \left( {u\sqrt 2  + 1} \right) + c

Τα υπόλοιπα είναι αντικατάσταση.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4181
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#142

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Ιαν 06, 2020 3:47 pm

Άσκηση 48

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{-\pi}^\pi \frac{\sin 30x}{\left(1+29^x \right)\sin x}  \, \mathrm{d}x}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11928
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#143

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Ιαν 06, 2020 7:53 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Δευ Ιαν 06, 2020 3:47 pm
Άσκηση 48

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{-\pi}^\pi \frac{\sin 30x}{\left(1+29^x \right)\sin x}  \, \mathrm{d}x}
Απάντηση: 0

H αλλαγή μεταβλητής y=-x δίνει

\displaystyle{I=  \int_{-\pi}^\pi \frac{\sin 30x}{\left(1+29^x \right)\sin x} dx=  \int_{-\pi}^\pi \frac{\sin 30 (-y)}{\left(1+29^{-y} \right)\sin (-y)} dy= \int_{-\pi}^\pi \frac{29^y \sin 30 y}{\left(1+29^{y} \right)\sin y} dy =J}

Άρα \displaystyle{2I= I+J=  \int_{-\pi}^\pi \frac{\left(1+29^x \right) \sin 30x}{\left(1+29^x \right)\sin x} dx= \int_{-\pi}^\pi \frac{ \sin 30x}{\sin x} dx }

To τελευταίο ισούται με 0. Ένας τρόπος είναι να δείξουμε πρώτα ότι το \displaystyle{ K=\int_{0}^\pi \frac{ \sin 30x}{\sin x} dx } είναι 0. Αυτό το πετυχαίνουμε με την αλλαγή μεταβλητής y=\pi -x, από όπου K=-K με χρήση του \displaystyle{\sin (\pi -x) = \sin x}. Όμοια \displaystyle{\int_{-\pi}^0 \frac{ \sin 30x}{\sin x} dx =0 }, και λοιπά.
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Πέμ Ιαν 09, 2020 5:37 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8959
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#144

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Ιαν 08, 2020 12:29 pm

Άσκηση 49

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

\displaystyle \int_0^1 {\frac{{\ln (x + 1)}}{{\ln (x + 1) + \ln (2 - x)}}{\rm{ }}} dx


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11928
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#145

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Ιαν 08, 2020 12:39 pm

george visvikis έγραψε:
Τετ Ιαν 08, 2020 12:29 pm
Άσκηση 49

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

\displaystyle \int_0^1 {\frac{{\ln (x + 1)}}{{\ln (x + 1) + \ln (2 - x)}}{\rm{ }}} dx
H αλλαγή μεταβλητής x=1-y δίνει

\displaystyle I=\int_0^1 {\frac{{\ln (x + 1)}}{{\ln (x + 1) + \ln (2 - x)}}dx   = \int_0^1 {\frac{{\ln (2-y)}}{{\ln (2-y) + \ln (1+y)}}dx =J .

Άρα 2I=I+J = \int_0^1 {\dfrac{{\ln (x + 1)+ + \ln (2 - x)}}{{\ln (x + 1) + \ln (2 - x)}}dx= \int_0^1 1\, dx = 1, οπότε I=1/2.


Eukleidis
Δημοσιεύσεις: 668
Εγγραφή: Τετ Ιούλ 01, 2009 9:55 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#146

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Eukleidis » Τετ Ιαν 08, 2020 4:03 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Κυρ Ιαν 05, 2020 10:40 pm
Άσκηση 46

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

\displaystyle{ \displaystyle\int \frac{\cos ( 2018 x)}{\sin ^{2020}x }dx }

(Πρέπει να φρεσκάρετε τους τύπους ημιτόνου/συνημιτόνου αθροίσματος γωνιών).
(H Άσκηση 40 μένει αναπάντητη).

Edit: Διόρθωσα το 2018 από 2019 που είχα γράψει. Συγνώμη αν σας ταλαιπώρησα.
Χαιρετώ και καλή χρονιά.

Σκεφτόμαστε από τη μορφή της δοσμένης πως η παράγουσα θα είναι της μορφής \frac{cos(ax)}{sin^{b}x}, η οποία μετά από παραγώγιση δίνει
\frac{-asin(ax)sinx-bcos(ax)cosx}{sin^{b+1}x}

Σκεπτόμενοι φυσικά την υπόδειξη περί αθροισματος γωνιών, αλλά και ορμόμενοι από τον παρονομαστή θέλουμε  a=b=2019, οπότε
\frac{-2019sin(2019x)sinx-2019cos(2019x)cosx}{sin^{2020}x}=-2019\frac{cos(2018x))}{sin^{2020}x}.
Συνεπώς, \int \frac{cos(2018x))}{sin^{2020}x}dx=-\frac{1}{2019}\frac{cos(2019x)}{sin^{2019}x}+c


Γιώργος
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11364
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#147

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Ιαν 08, 2020 7:43 pm

Άσκηση 50

Υπολογίστε το : \displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty}\int_{n}^{2n}\frac{x^2-2xlnx-1}{x(x-1)^2}dx


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11928
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#148

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Ιαν 08, 2020 10:17 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Ιαν 08, 2020 7:43 pm
Άσκηση 50

Υπολογίστε το : \displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty}\int_{n}^{2n}\frac{x^2-2xlnx-1}{x(x-1)^2}dx
Απάντηση: \ln 2.

Εργαζόμαστε χωριστά με τα \displaystyle \int_{n}^{2n}\frac{x^2-1}{x(x-1)^2}dx και \displaystyle \int_{n}^{2n}\frac{x\ln x}{x(x-1)^2}dx.

Το πρώτο είναι ίσο με

\displaystyle \int_{n}^{2n}\frac{x+1}{x(x-1)}dx =  \int_{n}^{2n}\left (\frac{2}{x-1} - \frac{1}{x}\right )dx= 2 \ln\frac {2n-1}{n-1} - \ln\frac {2n}{n} \to 2\ln 2 - \ln 2=\ln 2.

Το δεύτερο ικανοποιεί

\displaystyle 0\le \int_{n}^{2n}\frac{x\ln x}{x(x-1)^2}dx \le \ln (2n) \int_{n}^{2n}\frac{1}{(x-1)^2}dx =  \ln (2n) \left ( \frac{1}{n-1} - \frac{1}{2n-1}\right )=

\displaystyle{ =  \frac{\ln (2n)}{n-1} \cdot  \frac{n}{2n-1}\to 0\cdot  \frac {1} {2}=0 },

και λοιπά.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11928
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#149

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Ιαν 10, 2020 6:20 pm

Άσκηση 51

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

\displaystyle{ \int \dfrac{1+\sin x + \cos x}{ \sqrt {1+\sin x)(1+\cos x)}      }\,dx} για x\in [0, \pi /2].

(Περισσότερο Τριγωνομετρία παρά ολοκληρωση).


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8959
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#150

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Ιαν 10, 2020 6:44 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Παρ Ιαν 10, 2020 6:20 pm
Άσκηση 51

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

\displaystyle{ \int \dfrac{1+\sin x + \cos x}{ \sqrt {1+\sin x)(1+\cos x)}      }\,dx} για x\in [0, \pi /2].

(Περισσότερο Τριγωνομετρία παρά ολοκληρωση).
Πολύ τη χάρηκα!

\displaystyle \frac{{1 + \sin x + \cos x}}{{\sqrt {1 + \sin x} \sqrt {1 + \cos x} }} = \frac{{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2} + 2{{\cos }^2}\frac{x}{2}}}{{(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})(\cos \frac{x}{2})\sqrt 2 }} = \sqrt 2

Άρα το ολοκλήρωμα γράφεται \displaystyle \int {\sqrt 2 } dx = x\sqrt 2  + c


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11928
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#151

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Ιαν 10, 2020 7:06 pm

george visvikis έγραψε:
Παρ Ιαν 10, 2020 6:44 pm

Πολύ τη χάρηκα!

\displaystyle \frac{{1 + \sin x + \cos x}}{{\sqrt {1 + \sin x} \sqrt {1 + \cos x} }} = \frac{{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2} + 2{{\cos }^2}\frac{x}{2}}}{{(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})(\cos \frac{x}{2})\sqrt 2 }} = \sqrt 2

Άρα το ολοκλήρωμα γράφεται \displaystyle \int {\sqrt 2 } dx = x\sqrt 2  + c
Και λίγο αλλιώς (ξαδελφάκι της παραπάνω λύσης)

Το τετράγωνο του αριθμητή είναι

\displaystyle{ (1 + \sin x + \cos x)^2 = 1+\sin ^2 x + \cos ^2x + 2\sin x + 2\cos x + 2\sin x \cos x = }

\displaystyle{=2 + 2\sin x + 2\cos x + 2\sin x \cos x  = 2(1 + \sin x)(1 + \cos x) }

δηλαδή βρήκαμε σταθερό πολλαπλάσιο της υπόριζης ποσότητας του παρονομαστή. Και λοιπά.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11364
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#152

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Ιαν 10, 2020 8:43 pm

Άσκηση 52

Βρείτε την μικρότερη τιμή του θετικού ακεραίου a , για την οποία

το : \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}a(1+tan^2x)^5dx , είναι επίσης ακέραιος .


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11928
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#153

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Ιαν 10, 2020 9:38 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Ιαν 10, 2020 8:43 pm
Άσκηση 52

Βρείτε την μικρότερη τιμή του θετικού ακεραίου a , για την οποία

το : \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}a(1+tan^2x)^5dx , είναι επίσης ακέραιος .
H αλλαγή μεταβλητής t=\tan x δίνει

\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(1+\tan^2x)^5dx  = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(1+\tan^2x)^4(\tan x)'dx  =\int_{0}^{1}(1+t^2)^4dt =

\displaystyle{= \int_{0}^{1}(1+4t^2 + 6t^4+4t^6+t^8)dt= ... = \dfrac {1328}{315} } . Άρα a=315.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11364
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#154

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Ιαν 11, 2020 9:33 am

Άσκηση 53
Εμβαδόν  χωρίου.png
Εμβαδόν χωρίου.png (31.69 KiB) Προβλήθηκε 155 φορές
Υπολογίστε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χωρίου . Πιθανή ομοιότητα με τον Euler , ας θεωρηθεί συμπτωματική !


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11928
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#155

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Ιαν 11, 2020 9:49 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Ιαν 11, 2020 9:33 am
Άσκηση 53

Υπολογίστε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χωρίου . Πιθανή ομοιότητα με τον Euler , ας θεωρηθεί συμπτωματική !
Ας βρούμε πρώτα το αόριστο, με κατά παράγοντες δύο φορές,

\displaystyle{I=\int \sin (\ln x) dx = \int x' \sin (\ln x) dx= x\sin (\ln x) - \int \cos (\ln x) dx = x\sin (\ln x) - \left ( x \cos (\ln x) +\int \sin (\ln x) dx \right )  = }

\displaystyle{ =x\sin (\ln x) -  x \cos (\ln x) -I }

Άρα 2I=  x\sin (\ln x) -  x \cos (\ln x)+c ή  \boxed {\int \sin (\ln x) dx = \dfrac {1}{2}  x\sin (\ln x) -  \dfrac {1}{2}  x \cos (\ln x)+c}

Εύκολα τώρα το ζητούμενο εμβαδόν (όπου ολοκληρώνουμε μέχρι το μικρότερο x με \ln x= \pi , δηλαδή το Οϋλεριανό x=e^{\pi}) είναι e^{\pi}+1.
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Σάβ Ιαν 11, 2020 11:08 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8959
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#156

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Ιαν 11, 2020 10:28 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Ιαν 11, 2020 9:33 am
Άσκηση 53

Εμβαδόν χωρίου.pngΥπολογίστε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χωρίου . Πιθανή ομοιότητα με τον Euler , ας θεωρηθεί συμπτωματική !
Λίγο διαφορετικά με αντικατάσταση \displaystyle \ln x = u είναι:

\displaystyle \int_1^{{e^\pi }} {2\sin (\ln x)dx = \int_0^\pi  {2{e^u}} } \sin udu = \left[ {{e^u}(\sin u - \cos u)} \right]_0^\pi  = {e^\pi } + 1


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11928
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#157

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Ιαν 11, 2020 11:20 am

Άσκηση 54

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

\displaystyle{ \int _a^b \dfrac{e^{x/a} - e^{b/x}}{ \sqrt {abx+x^3}      }\,dx}

(Ευκολάκι με κλασικό τεχνασματάκι. Εμπίπτει σε γενικότερη κατηγορία).


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4181
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#158

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Ιαν 11, 2020 3:41 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Σάβ Ιαν 11, 2020 11:20 am
Άσκηση 54

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

\displaystyle{ \int _a^b \dfrac{e^{x/a} - e^{b/x}}{ \sqrt {abx+x^3}      }\,dx}

(Ευκολάκι με κλασικό τεχνασματάκι. Εμπίπτει σε γενικότερη κατηγορία).

Ευκολάκι αν ξέρεις το κόλπο... αν δε το ξέρεις κλάφτα Χαράλαμπε.


Έχουμε διαδοχικά:

\displaystyle{\begin{aligned} 
\sqrt{abx+ x^3} &\overset{x \mapsto ab/u}{=\! =\! =\! =\! =\!} \sqrt{\frac{a^2b^2}{u} +\frac{a^3b^3}{u^3} } \\  
 &=\sqrt{\frac{a^2b^2u^2}{u^3} + \frac{a^3b^3}{u^3}} \\  
 &=\sqrt{\frac{a^2b^2 \left ( u^2+ab \right )}{u^2 \cdot u}} \\  
 &=\frac{ab}{u} \sqrt{\frac{u^2+ab}{u}}   
\end{aligned}} Έστω \mathcal{J} το ολοκλήρωμα. Θέτουμε x=\frac{ab}{u}. Τότε,

\displaystyle{\begin{aligned} 
\mathcal{J} &= \int_{a}^{b} \frac{e^{x/a}-e^{b/x}}{\sqrt{abx+ x^3}} \, \mathrm{d}x \\  
 &\!\!\!\!\overset{x=ab/u}{=\! =\! =\! =\!} ab\int_{a}^{b} \frac{1}{u^2} \cdot \left ( e^{b/u} - e^{u/a} \right ) \cdot \frac{u}{ab} \cdot \frac{\sqrt{u}}{\sqrt{u^2+ab}} \, \mathrm{d}u \\  
 &=\int_{a}^{b} \frac{e^{b/u}-e^{u/a}}{\sqrt{abu + u^3}} \, \mathrm{d}u \\  
 &= - \int_{a}^{b} \frac{e^{u/a}-e^{b/u}}{\sqrt{abu+u^3}} \, \mathrm{d}u \\  
 &= -\mathcal{J} 
\end{aligned}}
Άρα το αρχικό ολοκλήρωμα είναι 0.

Παλιότερο θέμα εδώ.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11928
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#159

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Ιαν 11, 2020 5:32 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Σάβ Ιαν 11, 2020 11:20 am
(Ευκολάκι με κλασικό τεχνασματάκι. Εμπίπτει σε γενικότερη κατηγορία).
Tolaso J Kos έγραψε:
Σάβ Ιαν 11, 2020 3:41 pm

Ευκολάκι αν ξέρεις το κόλπο... αν δε το ξέρεις κλάφτα Χαράλαμπε.
Ορθότατο.

Η γενικότερη κατηγορία που αναφέρθηκα είναι η (ας το δούμε ως προτεινόμενη άσκηση)

Άσκηση 55
α) Αν f(a+b-x)=-f(x) για κάθε x\in [a,b] , τότε \displaystyle{\int_ a^bf(x) dx =0} και

β) Αν \displaystyle{\dfrac {ab}{x} f\left (\dfrac {ab}{x} \right )=-xf(x) } για κάθε x\in [a,b] , τότε \displaystyle{\int_a^bf(x) dx =0}

(To παραπάνω ολοκλήρωμα της Άσκησης 54 εμπίπτει στην περίπτωση β). Την περίπτωση α) την συναντήσαμε σε διάφορες
άλλες ασκήσεις στο θρεντ. Τώρα η Άσκηση 55 είναι ευκολάκι).


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4181
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#160

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Ιαν 11, 2020 9:05 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Σάβ Ιαν 11, 2020 5:32 pm
Mihalis_Lambrou έγραψε:
Σάβ Ιαν 11, 2020 11:20 am
(Ευκολάκι με κλασικό τεχνασματάκι. Εμπίπτει σε γενικότερη κατηγορία).
Tolaso J Kos έγραψε:
Σάβ Ιαν 11, 2020 3:41 pm

Ευκολάκι αν ξέρεις το κόλπο... αν δε το ξέρεις κλάφτα Χαράλαμπε.
Ορθότατο.

Η γενικότερη κατηγορία που αναφέρθηκα είναι η (ας το δούμε ως προτεινόμενη άσκηση)

Άσκηση 55
α) Αν f(a+b-x)=-f(x) για κάθε x\in [a,b] , τότε \displaystyle{\int_ a^bf(x) dx =0} και

β) Αν \displaystyle{\dfrac {ab}{x} f\left (\dfrac {ab}{x} \right )=-xf(x) } για κάθε x\in [a,b] , τότε \displaystyle{\int_a^bf(x) dx =0}

(To παραπάνω ολοκλήρωμα της Άσκησης 54 εμπίπτει στην περίπτωση β). Την περίπτωση α) την συναντήσαμε σε διάφορες
άλλες ασκήσεις στο θρεντ. Τώρα η Άσκηση 55 είναι ευκολάκι).

Το (α) είναι άσκηση σε πολλά βοηθήματα. Έχουμε:

\displaystyle{\begin{aligned} 
f\left ( a+b-x \right ) = -f(x) &\Leftrightarrow \int_{a}^{b} f \left ( a+b-x \right ) \, \mathrm{d}x = -\int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x \\  
 &\!\!\!\!\!\!\!\!\overset{u=a+b-x}{\Leftarrow \! =\! =\!=\! \Rightarrow } \int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x = -  \int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x\\  
 &\Leftrightarrow 2 \int_{a}^{b} f(x)\, \mathrm{d}x =0 \\  
 &\Leftrightarrow \int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x =0 
\end{aligned}}
Το (β) η αλήθεια είναι ότι δε το χω δει κάπου.

\displaystyle{\begin{aligned} 
\int_{a}^{b} f(x)\, \mathrm{d}x &\overset{u=ab/x}{=\! =\! =\! =\!} -\int_{b}^{a} \frac{ab}{x^2} f \left ( \frac{ab}{x} \right )\, \mathrm{d}x \\  
 &= \int_{a}^{b} \frac{1}{x} \cdot \frac{ab}{x} f \left ( \frac{ab}{x} \right )\, \mathrm{d}x \\  
 &=-\int_{a}^{b}  f (x) \, \mathrm{d}x  \\  
 &\Rightarrow \int_{a}^{b} f(x)\, \mathrm{d}x =0  
\end{aligned}}
τελευταία επεξεργασία από Tolaso J Kos σε Σάβ Ιαν 11, 2020 9:51 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης