Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#321

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 13, 2020 10:39 pm
Έκανα compile κάποια από τα πρόβλημα ( μόνο εκφωνήσεις ) που βρίσκονται στο thread εδώ.

.
Ευχαριστούμε.

Επίσης για την πάλαι ποτέ

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 18, 2019 7:31 am
Άσκηση 12

Nα υπολογισθεί το $\displaystyle{ \displaystyle \int _0^1\frac{\ln (1+x)}{1+x^2}\,dx}$

έχουμε την λύση

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 18, 2019 2:34 pm

Κάνουμε την αλλαγή μεταβλητής $x \mapsto \frac{1-x}{1+x}$ οπότε έχουμε, αν $\mathcal{J}$ το ολοκλήρωμα τότε:

$\displaystyle{\begin{aligned} \mathcal{J} &=\int_0^1 \dfrac{\ln\left(\tfrac{2}{1+x}\right)}{1+x^2} \, \mathrm{d}x\\ &=\int_0^1 \dfrac{\ln 2}{1+x^2}\, \mathrm{d}x- \mathcal{J}\\ &=\dfrac{\pi \ln 2}{4}- \mathcal{J} \\ &\implies \mathcal{J} = \frac{\pi \ln 2}{8} \end{aligned} }$

Τελικά το ολοκήρωμα αυτό μπορεί να βγει με πολλούς τρόπους (τουλάχιστον τρεις). Ένας είναι: Με την αλλαγή μεταβλητής $x=\tan t$ , οπότε $\displaystyle{\dfrac {dx}{dt} = \tan ^2 t+1=x^2+1}$ έχουμε

$\displaystyle{I=\int _0^{\pi /4} \ln (1+\tan t)dt }$ , το οποίο σύμφωνα με την Άσκηση

(βλέπε ποστ $\#281,\,\#282$ ) ισούται με $\displaystyle{ \frac{\pi \ln 2}{8}}}$ .

#322

Άσκηση 103

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{ \displaystyle{\int x \tan ^2 x\,dx }$

Christos.N · #323

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 31, 2021 9:54 am
Άσκηση 103

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{ \displaystyle{\int x \tan ^2 x\,dx }$

$\displaystyle{ \displaystyle{\int x \tan ^2 x\,dx =\int x \left((tan x)'-1\right)\,dx=\int x(tan x)'\,dx -\int x\,dx=x tanx +ln|cosx|-\frac{1}{2}x^2+c}$

#324

Άσκηση 104

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int \dfrac {d x }{x+ \sqrt [3] x}$

(Aπλό)

Tolaso J Kos · #325

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 31, 2021 10:00 pm
Άσκηση 104

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int \dfrac {d x }{x+ \sqrt [3] x}$

(Aπλό)

Έχουμε διαδοχικά και λέμε:

$\displaystyle{\begin{aligned} \int \frac{\mathrm{d}x}{x+ \sqrt[3]{x}} &\overset{x=y^3}{=\! =\! =\! =\! =\!} \int \frac{3y^2}{y^3+y}\, \mathrm{d}y \\ &= \int \frac{3y^2}{y \left ( y^2+1 \right )} \, \mathrm{d}y \\ &= \int \frac{3y}{y^2+1} \, \mathrm{d}y\\ &=\frac{3}{2} \int \frac{\left ( y^2+1 \right )'}{y^2+1} \, \mathrm{d}y \\ &= \frac{3 \ln \left ( y^2+1 \right )}{2} \\ &= \frac{3 \ln \left ( \sqrt[3]{x^2} + 1 \right )}{2} + c \; , \; c \in \mathbb{R} \end{aligned}}$

#326

Άσκηση 105

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int \dfrac {d x }{\sqrt x+ \sqrt [3] x}$

(Παραλλαγή του προηγούμενου, απειροελάχιστα δυσκολότερο)

Tolaso J Kos · #327

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 01, 2021 12:30 am
Άσκηση 105

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int \dfrac {d x }{\sqrt x+ \sqrt [3] x}$

(Παραλλαγή του προηγούμενου, απειροελάχιστα δυσκολότερο)

Έχουμε διαδοχικά:

$\displaystyle{\begin{aligned} \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x} + \sqrt[3]{x}} &\overset{x=y^6}{=\! =\! =\! =\!} \int \frac{6y^5}{y^3 + y^2} \, \mathrm{d}y \\ &= \int \frac{6 y^5}{y^2 \left ( y + 1 \right )} \, \mathrm{d}y \\ &= \int \frac{6y^3}{y+1} \, \mathrm{d}y \\ &= 6 \int \left ( y^2 - y - \frac{1}{y+1} + 1 \right ) \, \mathrm{d}y \\ &= 2y^3 - 3y^2 - \ln (y+1) + 6y \\ &= 2 \sqrt{x} - 3 \sqrt[3]{x} - 6 \ln \left ( \sqrt[6]{x} + 1 \right ) + 6 \sqrt[6]{x} + c \; , \; c \in \mathbb{R} \end{aligned}}$

llenny · #328

Άσκηση 106

Δική μου άσκηση, κάπως σαν ανέκδοτο αν βαριέται κανείς:
Να υπολογισθεί το παρακάτω ολοκλήρωμα: $\int \frac{e^{8x} + 18e^{4x} + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^2} +2e^{4x} \sin x +2e^{4x} \cos x + 2\frac{\sin x}{x} + 2\frac{\cos x}{x} + 2\sin x \cos x +2\frac{e^{4x}}{x} + 6\cos x - 2\sin x + 1}{e^{4x} + \cos x + \sin x + \frac{1}{x}}dx$ .

#329

llenny έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 09, 2021 1:33 pm
Άσκηση 106

Δική μου άσκηση, κάπως σαν ανέκδοτο αν βαριέται κανείς:
Να υπολογισθεί το παρακάτω ολοκλήρωμα: $\int \frac{e^{8x} + 18e^{4x} + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^2} +2e^{4x} \sin x +2e^{4x} \cos x + 2\frac{\sin x}{x} + 2\frac{\cos x}{x} + 2\sin x \cos x +2\frac{e^{4x}}{x} + 6\cos x - 2\sin x + 1}{e^{4x} + \cos x + \sin x + \frac{1}{x}}dx$ .

Εύκολα διακρίνει κανείς στον αριθμητή όλους τους όρους του παρονομαστή στο τετράγωνο, και μερικούς ακόμα. Αυτό που περισσεύει είναι το $\displaystyle{18e^{4x} + \frac{2}{x} - \frac{4}{x^2} + 6\cos x - 2\sin x }$ .

Για να μην γράφω πολλά, ας ονομάσω

τον παρονομαστή. Ήδη είδαμε ότι ο αριθμητής είναι P^2

συν αυτό που μόλις έγραψα. Εύκολα τώρα βλέπουμε ότι, τελικά, ο αριθμητής ισούται με P^2+2P+4P'

(εύκολο συγκρίνοντας συντελεστές). Δηλαδή θέλουμε να ολοκληρώσουμε την $P+2 + \dfrac {4P'}{P}$ , που είναι άμεση. Δεν χρειάζεται να πληκτρολογήσω την μεγάλη παράσταση.

#330

Άσκηση 107

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int \dfrac {x^2 }{(x\sin x+ \cos x)^2}\,dx$

(Έχει αρκετές πράξεις)

mick7 · #331

Παρατηρώ ότι

$\frac{d(xsinx+cosx)}{dx}=xcosx$

Γράφω το ολοκλήρωμα σαν

$\int \frac{x}{cosx}\frac{xcosx}{(xsinx+cosx)^2}dx$

Συνεχίζοντας με ολοκλήρωση κατά μέρη (δεν γράφω τις πολλές πράξεις) καταλήγουμε στο

$\displaystyle \int \frac{x^2}{(xsinx+cosx)^2}dx=\frac{sinx-xcosx}{cosx+xsinx}+C$

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 02, 2021 10:50 am
Άσκηση 107

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int \dfrac {x^2 }{(x\sin x+ \cos x)^2}\,dx$

(Έχει αρκετές πράξεις)

Tolaso J Kos · #332

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 02, 2021 10:50 am
Άσκηση 107

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int \dfrac {x^2 }{(x\sin x+ \cos x)^2}\,dx$

(Έχει αρκετές πράξεις)

Έχουμε διαδοχικά:

$\displaystyle{\begin{aligned} \mathcal{J} &=\int \left ( \frac{x}{x \sin x + \cos x} \right )^2 \, \mathrm{d}x \\ &=-\int \frac{-x \cos x}{\left ( x \sin x + \cos x \right )^2} \cdot \frac{x}{\cos x} \, \mathrm{d}x \\ &=-\int \left ( \frac{1}{x \sin x+ \cos x} \right )' \frac{x}{\cos x} \, \mathrm{d}x \\ &=- \frac{1}{x\sin x + \cos x } \cdot \frac{x}{\cos x} + \int \frac{1}{x \sin x + \cos x} \cdot \left ( \frac{x}{\cos x} \right )' \, \mathrm{d}x \\ &= - \frac{1}{x\sin x + \cos x } \cdot \frac{x}{\cos x} + \int \frac{1}{x \sin x + \cos x} \cdot \frac{x \sin x+ \cos x}{\cos^2 x} \, \mathrm{d}x \\ &= - \frac{1}{x\sin x + \cos x } \cdot \frac{x}{\cos x} + \int \frac{\mathrm{d}x}{\cos^2 x}\\ &= - \frac{1}{x\sin x + \cos x } \cdot \frac{x}{\cos x} + \tan x \\ &= \frac{\sin x - x \cos x}{x \sin x + \cos x} + c \; , \; c \in \mathbb{R} \end{aligned}}$

#333

Σωστά.

Υπόψη ότι αυτή είναι η λύση που πρότεινε και ο mick7, αλλά άφησε τις πράξεις.

Εκτός από αυτήν την λύση έχω άλλες δύο, αλλά με περισσότερες πράξεις, και δεν υπάρχει λόγος να τις γράψω. Ο ένας τρόπος είναι με αλλαγή μεταβλητής $t=\tan \frac {x}{2}$ .

KARKAR · #334

Δίνεται η συνάρτηση : $f(x)=\left\{\begin{matrix} \dfrac{\sin3x}{\sin x} & ,0< x < \pi \\ \\ k & , x=0 \end{matrix}\right.$

α) Βρείτε την τιμή του

, η οποία καθιστά την συνάρτηση συνεχή και το σύνολο τιμών της .

β) Βρείτε τον μικρότερο θετικό

, για τον οποίο ισχύει : $\displaystyle \int_{0}^{a}f(x)dx=a$ .

Παράκληση προς τους λύτες για όχι τηλεγραφική παρουσίαση της λύσης .

#335

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 13, 2022 7:37 pm
Δίνεται η συνάρτηση : $f(x)=\left\{\begin{matrix} \dfrac{\sin3x}{\sin x} & ,0< x < \pi \\ \\ k & , x=0 \end{matrix}\right.$

α) Βρείτε την τιμή του , η οποία καθιστά την συνάρτηση συνεχή και το σύνολο τιμών της .

β) Βρείτε τον μικρότερο θετικό , για τον οποίο ισχύει : $\displaystyle \int_{0}^{a}f(x)dx=a$ .

To

μπορούμε να το βρούμε με δύο τρόπους. Ο πρώτος μέσω του $\displaystyle{\lim_{x\to 0} \dfrac {\sin3x}{\sin x}=3}$ (έκανα l' Hospital ή αλλιώς διαίρεσα αριθμητή και παρονομαστή δια

). Ο άλλος τρόπος είναι από το ανάπτυγμα

$\dfrac{\sin3x}{\sin x} = \dfrac{4\sin x \cos ^2 x- \sin x }{\sin x}= 4\cos ^2 x-1$ που είναι ήδη συνεχής, με τιμή

στο

.

Άρα

$\displaystyle \int_{0}^{a}f(x)dx = \int_{0}^{a} (4\cos ^2 x-1) dx= \int_{0}^{a} (2\cos 2 x+1) dx = \sin 2a +a$ . Αν λοιπόν αυτό είναι ίσο με

, έχουμε $\sin 2a=0$ . Το μικρότερο θετικό τέτοιο

είναι από το $2a= \pi$ , δηλαδή $a= \dfrac {\pi}{2}$

KARKAR · #336

Ελάχιστα διαφορετικά :

Η γνωστή ταυτότητα ( σχολικό ) , είναι η : $\sin 3x=3\sin x-4\sin^3x$ , επομένως

για : $0<x<\pi$ : $f(x)=3-4\sin^2x$ , απ' όπου προκύπτει άμεσα και το σύνολο

τιμών , που είναι το [-1 , 3]

, τιμές που παίρνει στο

( ως όριο ) και στο $\dfrac{\pi}{2}$ ...

#337

Άσκηση 108

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int e^x \left ( \dfrac {1 }{ \cos ^2 x}+ \ln \cos x \right )\,dx$

Tolaso J Kos · #338

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 14, 2022 10:15 am
Άσκηση 108

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int e^x \left ( \dfrac {1 }{ \cos ^2 x}+ \ln \cos x \right )\,dx$

Επειδή

$\displaystyle{\begin{aligned} \int \frac{e^x}{\cos^2 x}\, \mathrm{d}x &= e^x \tan x - \int e^x \tan x \, \mathrm{d}x \\ &= e^x \tan x - \int e^x \cdot \frac{\sin x}{\cos x}\, \mathrm{d}x \\ &= e^x \tan x+ \int e^x \left ( \ln \cos x \right )'\, \mathrm{d}x \\ &=e^x \tan x + e^x \ln \cos x - \int e^x \ln \cos x \, \mathrm{d}x \end{aligned}}$
έπεται ότι $\displaystyle{\int e^x \left ( \frac{1}{\cos^2 x} + \ln \cos x \right )\, \mathrm{d}x = e^x \left ( \tan x + \ln \cos x \right ) + c \; , \; c \in \mathbb{R}}$ .

#339

Άσκηση 109

Να αποδειχθεί ότι $\displaystyle{\int e^x \left (g(x) - g''(x) )\,dx = e^x( g(x) - g'(x))+c$

H άσκηση είναι απλή. Την τοποθετώ εδώ μόνο για να επισημάνω ότι η προηγούμενη Άσκηση 108

είναι ειδική περίπτωση αυτής εδώ, με $g(x) = \ln \cos x$ . Αργότερα θα αναρτήσω μία ακόμα ποιο ουσιαστική γενίκευση που ξεκαθαρίζει το "τι τρέχει".

Tolaso J Kos · #340

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 14, 2022 10:33 pm
Άσκηση 109

Να αποδειχθεί ότι $\displaystyle{\int e^x \left (g(x) - g''(x) )\,dx = e^x( g(x) - g'(x))+c$

Και έλεγα τι μου θυμίζει... Τελικά είναι η άσκηση 417 του βιβλίου μου Μαθηματικά Γ' Λυκείου Β' Τεύχος.

: Στιγμιότυπο από 2022-06-15 10-45-33.png (15.39 KiB) Προβλήθηκε 9514 φορές

Όπως και πριν έτσι και τώρα έχουμε

$\displaystyle{\begin{aligned} \int e^x g(x)\, \mathrm{d}x &= e^x g(x) - \int e^x g'(x) \, \mathrm{d}x \\ &= e^x g(x) - e^x g'(x) + \int e^x g''(x)\, \mathrm{d}x \end{aligned}}$
και το αποτέλεσμα έπεται.

Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Μέλη σε σύνδεση