Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#381

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 17, 2023 7:43 pm
Άσκηση 125

Να βρεθεί το $\displaystyle{\int \sqrt{ 1+2\sqrt {x-x^2}} \, dx$

Πιο απλά, χωρίς αλλαγή μεταβλητής:

$\displaystyle{\int \sqrt{ 1+2\sqrt {x-x^2}} \, dx= \int {\sqrt { \left (\sqrt x + \sqrt {1-x} \right )^2 }\, dx = \int (\sqrt x + \sqrt {1-x} )dx = \frac {2}{3} x^{3/2} - \frac {2}{3} (1-x)^{3/2}+c$

#382

Άσκηση 126

Αν , να βρεθεί το $\displaystyle{\int _1^{a^2} \dfrac { \ln x} { \sqrt{ x} (x+a) } \, dx$

Tolaso J Kos · #383

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 21, 2023 7:04 pm
Άσκηση 126

Αν , να βρεθεί το $\displaystyle{\int _1^{a^2} \dfrac { \ln x} { \sqrt{ x} (x+a) } \, dx$

Χαλό Μιχάλη,

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{1}^{a^2}\frac{\ln x}{\sqrt{x}\left ( x+a \right )}\, \mathrm{d}x &\overset{u=\sqrt{x}}{=\! =\! =\! =\!} \int_{1}^{a}\frac{2u \ln u^2}{u(u^2+a)} \, \mathrm{d}u \\ &=4\int_{1}^{a}\frac{\ln u}{u^2+a}\, \mathrm{d}u \\ &\overset{(*)}{=}2 \ln a \int_{1}^{a}\frac{\mathrm{d}u}{u^2 +a} \\ &=2\ln a \left [ \frac{\arctan \frac{u}{\sqrt{a}}}{\sqrt{a}} \right ]_1^a \\ &= 2\ln a \left [ \frac{\arctan \sqrt{a}-\arctan \frac{1}{\sqrt{a}}}{\sqrt{a}} \right ] \\ &= -\ln a \left [ \frac{\pi -4 \arctan \sqrt{a}}{\sqrt{a}} \right ] \end{aligned}}$
(*)

Ποια αντικατάσταση έγινε στο βήμα εδώ;

Tolaso J Kos · #384

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 21, 2023 7:14 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 21, 2023 7:04 pm
Άσκηση 126

Αν , να βρεθεί το $\displaystyle{\int _1^{a^2} \dfrac { \ln x} { \sqrt{ x} (x+a) } \, dx$
Χαλό Μιχάλη,

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{1}^{a^2}\frac{\ln x}{\sqrt{x}\left ( x+a \right )}\, \mathrm{d}x &\overset{u=\sqrt{x}}{=\! =\! =\! =\!} \int_{1}^{a}\frac{2u \ln u^2}{u(u^2+a)} \, \mathrm{d}u \\ &=4\int_{1}^{a}\frac{\ln u}{u^2+a}\, \mathrm{d}u \\ \end{aligned}}$

Συνεχίζουμε από δω.

$\displaystyle{\begin{aligned} &\!\!\!\!\!\!\overset{u = \sqrt{a}t}{=\! =\! =\!=\! =\!} 4 \sqrt{a}\int_{1/\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} \frac{\ln \sqrt{a}t}{a \left ( t^2+1 \right )} \, \mathrm{d}t \\ &=\frac{4}{\sqrt{a}} \int_{1/\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} \frac{\ln \sqrt{a} + \ln t}{t^2+1} \, \mathrm{d}t \\ &= \frac{2 \ln a}{\sqrt{a}} \int_{1/\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} \frac{\mathrm{d}t}{t^2+1} + \frac{4}{\sqrt{a}} \int_{1/\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} \frac{\ln t}{t^2+1} \, \mathrm{d}t \\ &=-\ln a \left ( \frac{\pi - 4 \arctan \sqrt{a}}{\sqrt{a}} \right ) \end{aligned}}$
διότι $\displaystyle{\int_{\alpha}^{1/\alpha} \frac{\ln x}{x^2+1} \, \mathrm{d}x = 0 }$ για κάθε $\alpha>0$ και $\displaystyle{\arctan x + \arctan \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}}$ για κάθε x>0

.

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 21, 2023 7:14 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 21, 2023 7:04 pm
Άσκηση 126

Αν , να βρεθεί το $\displaystyle{\int _1^{a^2} \dfrac { \ln x} { \sqrt{ x} (x+a) } \, dx$
Χαλό Μιχάλη,

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{1}^{a^2}\frac{\ln x}{\sqrt{x}\left ( x+a \right )}\, \mathrm{d}x &\overset{u=\sqrt{x}}{=\! =\! =\! =\!} \int_{1}^{a}\frac{2u \ln u^2}{u(u^2+a)} \, \mathrm{d}u \\ &=4\int_{1}^{a}\frac{\ln u}{u^2+a}\, \mathrm{d}u \\ \end{aligned}}$

Επίσης, από δω μπορούμε να συνεχίσουμε με παραγοντική ολοκλήρωση.

#385

Άσκηση 127

Να βρεθεί το $\displaystyle{\int \dfrac { \sqrt [3] {x} + \sqrt [6] {x} } { \sqrt [6] {x^7} + \sqrt [3] {x^4} } \, dx$

ksofsa · #386

Για την άσκηση 127:

Για να έχει νόημα η έκφραση $\sqrt[6]{x}$ και να μη μηδενίζεται ο παρονομαστής, θεωρούμε ότι x> 0

.

Έχουμε:

$\int \dfrac{\sqrt[3]{x}+\sqrt[6]{x}}{x(\sqrt[6]{x}+\sqrt[3]{x})}dx=\int \dfrac{1}{x}dx=lnx+c$ .

#387

Άσκηση 128

Να βρεθεί το $\displaystyle{\int \dfrac { \sqrt [3] {x} + \sqrt [6] {x^3} } { \sqrt [6] {x^7} + \sqrt [3] {x^4} } \, dx$

Σχόλιο: Πρόκειται για το ξαδελφάκι της προηγούμενης. Άλλαξε μόνο ένας από τους εκθέτες, αλλά τώρα αλλάζει και η τεχνική αντιμετώπισης.

BAGGP93 · #388

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 24, 2023 8:02 pm
Άσκηση 128

Να βρεθεί το $\displaystyle{\int \dfrac { \sqrt [3] {x} + \sqrt [6] {x^3} } { \sqrt [6] {x^7} + \sqrt [3] {x^4} } \, dx$

Σχόλιο: Πρόκειται για το ξαδελφάκι της προηγούμενης. Άλλαξε μόνο ένας από τους εκθέτες, αλλά τώρα αλλάζει και η τεχνική αντιμετώπισης.

Στο $\left(0,\infty\right)$ έχουμε

$\begin{aligned} \int \dfrac { \sqrt [3] {x} + \sqrt [6] {x^3} } { \sqrt [6] {x^7} + \sqrt [3] {x^4} } \, dx&=\int \frac{x^{1/3}+x^{1/2}}{x^{7/6}+x^{8/6}} dx\\&=\int \frac{x^{1/3}(1+x^{1/6})}{x^{7/6}(1+x^{1/6})}dx\\&=\int x^{1/3-7/6}dx\\&=\int x^{-5/6} dx\\&=6\,x^{1/6}+c,\,\,c\in\mathbb R\end{aligned}$

Tolaso J Kos · #389

Άσκηση 129

Να υπολογιστεί το $\displaystyle{\int_{1}^{e} \frac{\left ( 3x+1 \right ) \sqrt{\ln x + x} + \left ( x+1 \right )^2}{x \sqrt{\ln x +x} \left ( \sqrt{x + \ln x} + x \right )} \, \mathrm{d}x }$ .

Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Μέλη σε σύνδεση