Δυναμικό ... ολοκλήρωμα

Tolaso J Kos · #1

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{0}^{2018\pi} \left (\cos x \right )^{2^{3^{4^{\dots^{2018}}}}} \left ( \sin x \right )^{3^{4^{5^{\dots^{2018}}}}} \, \mathrm{d}x }$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 12, 2019 2:51 pm
Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{0}^{2018\pi} \left (\cos x \right )^{2^{3^{4^{\dots^{2018}}}}} \left ( \sin x \right )^{3^{4^{5^{\dots^{2018}}}}} \, \mathrm{d}x }$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

angvl · #3

Καλησπέρα . Αν θέσουμε $\displaystyle u = x-1009\pi \Rightarrow du=dx$ τότε $\displaystyle {\mathcal{J} = \int_{-1009\pi}^{1009\pi} \left (\cos (1009\pi+u) \right )^{2^{3^{4^{\dots^{2018}}}}} \left ( \sin (1009\pi+u) \right )^{3^{4^{5^{\dots^{2018}}}}} \, \mathrm{d}u } = \int_{-1009\pi}^{1009\pi} \left (-\cos u \right )^{2^{3^{4^{\dots^{2018}}}}} \left ( -\sin u \right )^{3^{4^{5^{\dots^{2018}}}}} \, \mathrm{d}u }= {\mathcal{J} = \int_{-1009\pi}^{1009\pi} \left (\cos x \right )^{2^{3^{4^{\dots^{2018}}}}} \left ( -\sin u \right )^{3^{4^{5^{\dots^{2018}}}}} \, \mathrm{d}u } =- \int_{-1009\pi}^{1009\pi} \left (\cos u \right )^{2^{3^{4^{\dots^{2018}}}}} \left ( \sin u \right )^{3^{4^{5^{\dots^{2018}}}}} \, \mathrm{d}u$

Επειδή η συνάρτηση $\displaystyle -\left (\cos u \right )^{2^{3^{4^{\dots^{2018}}}}} \left ( \sin u \right )^{3^{4^{5^{\dots^{2018}}}}}$ είναι περιττή και το διάστημα ολοκλήρωσης είναι συμμετρικό ως προς το μηδέν , το ολοκλήρωμα θα είναι ίσο με μηδέν.

Tolaso J Kos · #4

Όντως το κλειδί είναι η περιττότητα της συνάρτησης , αλλά νομίζω πως πρέπει να πούμε κάτι για το πώς βγαίνει έξω το

από τις παρενθέσεις.

angvl · #5

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 13, 2019 2:12 pm
Όντως το κλειδί είναι η περιττότητα της συνάρτησης , αλλά νομίζω πως πρέπει να πούμε κάτι για το πώς βγαίνει έξω το από τις παρενθέσεις.

Καλησπέρα Τόλη! Εγω σκέφτηκα (αλλά δεν έγραψα την απόδειξη) ότι (άρτιος) $\displaystyle^n=$ άρτιος , όπου

θετικός ακέραιος και (περριτός) $\displaystyle ^n=$ περιττός.

Δυναμικό ... ολοκλήρωμα

Δυναμικό ... ολοκλήρωμα

Re: Δυναμικό ... ολοκλήρωμα

Re: Δυναμικό ... ολοκλήρωμα

Re: Δυναμικό ... ολοκλήρωμα

Re: Δυναμικό ... ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση