Ορισμένο ολοκλήρωμα

Συντονιστής: R BORIS

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4443
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Ορισμένο ολοκλήρωμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Αύγ 09, 2019 8:03 pm

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{7}^{19} \sqrt{(x-7)(19-x)} \, \mathrm{d}x}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
nikos_el
Δημοσιεύσεις: 131
Εγγραφή: Παρ Ιαν 02, 2015 5:00 pm

Re: Ορισμένο ολοκλήρωμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikos_el » Παρ Αύγ 09, 2019 8:59 pm

Για να αποφύγουμε την τριγωνομετρική αντικατάσταση:
Θέτοντας y=\sqrt{\left(x-7\right)\left(19-x\right)} μετά από πράξεις βρίσκουμε \left(x-13\right)^2+y^2=6^2, που παριστάνει κύκλο με κέντρο K\left(13,0\right) και ακτίνα r=6. Ο κύκλος τέμνει τον άξονα x'x στα σημεία A\left(7,0\right) και B\left(19,0\right). Επομένως το δοθέν ολοκλήρωμα ισούται με το εμβαδόν του άνω ημικυκλίου του κύκλου \left(K,r\right). Άρα, \displaystyle \mathcal{J}=\int_{7}^{19}\sqrt{\left(x-7\right)\left(19-x\right)}\mathrm{d}x=\dfrac{\pi}{2}r^2\Rightarrow \mathcal{J}=18\pi.
τελευταία επεξεργασία από nikos_el σε Σάβ Αύγ 10, 2019 1:55 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


The road to success is always under construction
Άβαταρ μέλους
angvl
Δημοσιεύσεις: 157
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 12, 2011 3:10 pm

Re: Ορισμένο ολοκλήρωμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από angvl » Παρ Αύγ 09, 2019 10:20 pm

Ας επιχειρήσω να κάνω την "χαμαλοδουλειά.."!

\displaystyle J = \int_{7}^{19} \sqrt{(x-7)(19-x)}dx =\int_{7}^{19} \sqrt{-x^2+26x-133}dx=\int_{7}^{19} \sqrt{36-(x-13)^2}dx

\displaystyle [x-13 = y \wedge x = 7 \wedge x = 19  \wedge dx = dy ] \Rightarrow J = \int_{-6}^{6} (\sqrt{36-y^2})dy

\displaystyle [y=6\sin t \wedge y = -6 \wedge y=6 \wedge dy = (6\cos t) dt] \Rightarrow J =6 \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos t( \sqrt{36-36\sin^2 t}) dt

\displaystyle J = 36 \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(\cos^2 t )dt=36\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1+\cos 2t}{2} dt=18\pi +18\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(\frac{\sin 2t}{2})'dt = 18\pi +0 = 18\pi


Καλό Καλοκαίρι!
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης