Ολοκλήρωμα

Συντονιστής: R BORIS

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3862
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Ολοκλήρωμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Ιουν 01, 2019 9:27 pm

Έστω f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} παραγωγίσιμη συνάρτηση τέτοια ώστε

\displaystyle{f'(x)=\frac{1}{1+x^2} \quad , \quad x \in \mathbb{R}}
Αν f(1)=\frac{\pi}{4} και f(0)=0 τότε να δειχθεί ότι:

  1. \displaystyle{\int_{0}^{\alpha} x^3 f \left ( x^2 \right ) \, \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \int_{0}^{\alpha^2} x f(x) \, \mathrm{d}x  }.
  2. \displaystyle{\int_{0}^{1} x^3 f \left ( x^2 \right ) \, \mathrm{d}x = \frac{\pi}{8} - \frac{1}{4}}.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1503
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Ολοκλήρωμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Κυρ Ιουν 02, 2019 12:24 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Σάβ Ιουν 01, 2019 9:27 pm
Έστω f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} παραγωγίσιμη συνάρτηση τέτοια ώστε

\displaystyle{f'(x)=\frac{1}{1+x^2} \quad , \quad x \in \mathbb{R}}
Αν f(1)=\frac{\pi}{4} και f(0)=0 τότε να δειχθεί ότι:

  1. \displaystyle{\int_{0}^{\alpha} x^3 f \left ( x^2 \right ) \, \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \int_{0}^{\alpha^2} x f(x) \, \mathrm{d}x  }.
  2. \displaystyle{\int_{0}^{1} x^3 f \left ( x^2 \right ) \, \mathrm{d}x = \frac{\pi}{8} - \frac{1}{4}}.
...μιά προσπάθεια....

i) Είναι I=\int\limits_{0}^{\alpha }{{{x}^{3}}}f\left( {{x}^{2}} \right)\text{d}x και με {{x}^{2}}=u έχουμε

2xdx=du\Rightarrow xdx=\frac{1}{2}du και x=0\to u=0 και x=a\to u={{a}^{2}} ισχύει

I=\int\limits_{0}^{\alpha }{{{x}^{2}}}f\left( {{x}^{2}} \right)(x\text{d}x)=\int\limits_{0}^{{{\alpha }^{2}}}{u}f\left( u \right)(\frac{1}{2}\text{du})=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{{{\alpha }^{2}}}{u}f\left( u \right)\text{du}

ii) Τώρα είναι J=\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{3}}}f\left( {{x}^{2}} \right)\text{d}xκαι σύμφωνα με το (i) έχουμε

J=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{x}f\left( x \right)\text{d}x=\frac{1}{4}\int\limits_{0}^{1}{({{x}^{2}}{)}'}f\left( x \right)\text{d}x=\frac{1}{4}\left[ {{x}^{2}}f(x) \right]_{0}^{1}-\frac{1}{4}\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}}{f}'\left( x \right)\text{d}x=

=\frac{1}{4}f(1)-\frac{1}{4}\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}}\frac{1}{1+{{x}^{2}}}\text{d}x=\frac{1}{4}f(1)-\frac{1}{4}\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{2}}+1-1}{1+{{x}^{2}}}}\text{d}x=\frac{1}{4}f(1)-\frac{1}{4}\int\limits_{0}^{1}{\left( 1-\frac{1}{1+{{x}^{2}}} \right)}\text{d}x=

=\frac{1}{4}f(1)-\frac{1}{4}\int\limits_{0}^{1}{\left( 1-{f}'(x) \right)}\text{d}x=\frac{1}{4}f(1)-\frac{1}{4}\left[ x-f(x) \right]_{0}^{1}=

=\frac{1}{4}f(1)-\frac{1}{4}\left[ (1-f(1))-(0-f(0) \right]=\frac{1}{2}f(1)-\frac{1}{4}=\frac{\pi }{8}-\frac{1}{4}

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης