Συνάρτηση με ολοκλήρωμα

Συντονιστής: R BORIS

Aravella
Δημοσιεύσεις: 9
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 06, 2018 7:43 pm

Συνάρτηση με ολοκλήρωμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Aravella » Δευ Μάιος 20, 2019 3:20 pm

Δίνεται συνεχής συνάρτηση για την οποία ισχύει f(x)=lnx-1+\int_{1}^{e}f(x) dx
Να αποδείξετε ότι f(x)=lnx

Κάποια υπόδειξη;



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11106
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Συνάρτηση με ολοκλήρωμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Μάιος 20, 2019 3:34 pm

Aravella έγραψε:
Δευ Μάιος 20, 2019 3:20 pm
Δίνεται συνεχής συνάρτηση για την οποία ισχύει f(x)=lnx-1+\int_{1}^{e}f(x) dx
Να αποδείξετε ότι f(x)=lnx

Κάποια υπόδειξη;
Επειδή ο τελευταίος προσθετέος είναι κάποιος (σταθερός) αριθμός, η σχέση σου γράφεται f(x)=\lnx-1+c, ή αλλιώς f(x)=\ln x + d

Βάλε αυτό πίσω στην αρχική σχέση με σκοπό να βρεις πόσο είναι το d.

Ας προσθέσω ότι όταν ζητάς βοήθεια από το φόρουμ, καλό είναι να ανταποκρίνεσαι και εσύ σε αυτά που σου ζητά το φόρουμ. Βλέπε εδώ. Αλλιώς ηχεί ως αγένεια.

Περιμένουμε την λύση σου τόσο στο παραπάνω, όσο στην παραπομπή που δίνω.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3843
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Re: Συνάρτηση με ολοκλήρωμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Μάιος 20, 2019 7:02 pm

Aravella έγραψε:
Δευ Μάιος 20, 2019 3:20 pm
Δίνεται συνεχής συνάρτηση για την οποία ισχύει f(x)=lnx-1+\int_{1}^{e}f(x) dx
Να αποδείξετε ότι f(x)=lnx

Κάποια υπόδειξη;


Μία άλλη λύση σε άλλο μήκος κύματος. Ολοκληρώνεις τη σχέση από 1 έως e. Οπότε:


\displaystyle{\begin{aligned} 
\int_{1}^{e} f(t) \, \mathrm{d}t = \int_{1}^{e} \left ( \ln t - 1  + \int_{1}^{e} f(x) \, \mathrm{d}x \right ) \; \mathrm{d}t &\Leftrightarrow \int_{1}^{e} f(t) \, \mathrm{d}t = \int_{1}^{e} \ln t \, \mathrm{d}t - \int_{1}^{e} \,\mathrm{d}t + \left ( e - 1 \right )\int_{1}^{e} f(x) \, \mathrm{d}x \;   \\  
 &\Leftrightarrow \int_{1}^{e} f(t) \, \mathrm{d}t = \left [ t \ln t - t \right ]_1^{e} - \left ( e-1 \right ) + \left ( e -1 \right ) \int_{1}^{e} f(t) \; \mathrm{d}t \\  
 &\Leftrightarrow \int_{1}^{e} f(t) \, \mathrm{d}t = 1 - \left ( e-1 \right ) + \left ( e - 1 \right ) \int_{1}^{e} f(t) \, \mathrm{d}t \\ 
 &\Leftrightarrow \int_{1}^{e} f(t) \, \mathrm{d}t = -e + 2 + e \int_{1}^{e} f(t) \, \mathrm{d}t - \int_{1}^{e} f(t) \, \mathrm{d}t \\ 
 &\Leftrightarrow 2 \int_{1}^{e} f(t) \, \mathrm{d}t = 2-e + e \int_{1}^{e} f(t) \, \mathrm{d}t \\ 
 &\Leftrightarrow \cancel{\left ( 2-e \right ) }\int_{1}^{e} f(t) \, \mathrm{d}t = \cancel{2-e} \\ 
 &\Leftrightarrow \int_{1}^{e} f(t) \, \mathrm{d}t = 1 
\end{aligned}}
Τελειώσαμε!


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11106
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Συνάρτηση με ολοκλήρωμα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Μάιος 20, 2019 9:42 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Δευ Μάιος 20, 2019 7:02 pm
Μία άλλη λύση σε άλλο μήκος κύματος. Ολοκληρώνεις τη σχέση από 1 έως e. Οπότε:
Σωστά αλλά πρέπει να κάνω μία ουσιαστική παρατήρηση για να μην μένουμε με εσφαλμένες εντυπώσεις:

Δεν πρόκειται για λύση σε άλλο μήκος κύματος αλλά για ΑΚΡΙΒΩΣ την ίδια λύση. Η μόνη "διαφορά" είναι ότι η σταθερά c που έγραψα (που είναι
βέβαια η c=\int_{1}^{e}f(x) dx) δεν δηλώνεται με την συντομογραφία της c αλλά κουβαλιέται ατόφια με την πλήρη της γραφή \int_{1}^{e}f(x) dx.

Ποια η διαφορά;

Καμία.


Aravella
Δημοσιεύσεις: 9
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 06, 2018 7:43 pm

Re: Συνάρτηση με ολοκλήρωμα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Aravella » Δευ Μάιος 20, 2019 11:06 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Δευ Μάιος 20, 2019 3:34 pm
Aravella έγραψε:
Δευ Μάιος 20, 2019 3:20 pm
Δίνεται συνεχής συνάρτηση για την οποία ισχύει f(x)=lnx-1+\int_{1}^{e}f(x) dx
Να αποδείξετε ότι f(x)=lnx

Κάποια υπόδειξη;
Επειδή ο τελευταίος προσθετέος είναι κάποιος (σταθερός) αριθμός, η σχέση σου γράφεται f(x)=\lnx-1+c, ή αλλιώς f(x)=\ln x + d

Βάλε αυτό πίσω στην αρχική σχέση με σκοπό να βρεις πόσο είναι το d.

Ας προσθέσω ότι όταν ζητάς βοήθεια από το φόρουμ, καλό είναι να ανταποκρίνεσαι και εσύ σε αυτά που σου ζητά το φόρουμ. Βλέπε εδώ. Αλλιώς ηχεί ως αγένεια.

Περιμένουμε την λύση σου τόσο στο παραπάνω, όσο στην παραπομπή που δίνω.
Στην συγκεκριμένη περίπτωση όμως δεν μου δίνονται αριθμοί που επαληθεύουν την συνάρτηση για να βρω το c. Άρα μήπως θα ήταν καλύτερο να λύσω το ολοκλήρωμα;

Όσον αφορά για την παραπομπή σας συνδέθηκα στο φόρουμ μετά από ένα χρόνο και είδα τις απαντήσεις.. πλέον ως μαθήτρια της γ λυκείου δεν μπορώ να πω πως θυμάμαι κάποια απάντηση :oops:


Aravella
Δημοσιεύσεις: 9
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 06, 2018 7:43 pm

Re: Συνάρτηση με ολοκλήρωμα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Aravella » Δευ Μάιος 20, 2019 11:17 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Δευ Μάιος 20, 2019 7:02 pm
Aravella έγραψε:
Δευ Μάιος 20, 2019 3:20 pm
Δίνεται συνεχής συνάρτηση για την οποία ισχύει f(x)=lnx-1+\int_{1}^{e}f(x) dx
Να αποδείξετε ότι f(x)=lnx

Κάποια υπόδειξη;


Μία άλλη λύση σε άλλο μήκος κύματος. Ολοκληρώνεις τη σχέση από 1 έως e. Οπότε:


\displaystyle{\begin{aligned} 
\int_{1}^{e} f(t) \, \mathrm{d}t = \int_{1}^{e} \left ( \ln t - 1  + \int_{1}^{e} f(x) \, \mathrm{d}x \right ) \; \mathrm{d}t &\Leftrightarrow \int_{1}^{e} f(t) \, \mathrm{d}t = \int_{1}^{e} \ln t \, \mathrm{d}t - \int_{1}^{e} \,\mathrm{d}t + \left ( e - 1 \right )\int_{1}^{e} f(x) \, \mathrm{d}x \;   \\  
 &\Leftrightarrow \int_{1}^{e} f(t) \, \mathrm{d}t = \left [ t \ln t - t \right ]_1^{e} - \left ( e-1 \right ) + \left ( e -1 \right ) \int_{1}^{e} f(t) \; \mathrm{d}t \\  
 &\Leftrightarrow \int_{1}^{e} f(t) \, \mathrm{d}t = 1 - \left ( e-1 \right ) + \left ( e - 1 \right ) \int_{1}^{e} f(t) \, \mathrm{d}t \\ 
 &\Leftrightarrow \int_{1}^{e} f(t) \, \mathrm{d}t = -e + 2 + e \int_{1}^{e} f(t) \, \mathrm{d}t - \int_{1}^{e} f(t) \, \mathrm{d}t \\ 
 &\Leftrightarrow 2 \int_{1}^{e} f(t) \, \mathrm{d}t = 2-e + e \int_{1}^{e} f(t) \, \mathrm{d}t \\ 
 &\Leftrightarrow \cancel{\left ( 2-e \right ) }\int_{1}^{e} f(t) \, \mathrm{d}t = \cancel{2-e} \\ 
 &\Leftrightarrow \int_{1}^{e} f(t) \, \mathrm{d}t = 1 
\end{aligned}}
Τελειώσαμε!
Είχα και εγώ παρόμοια ιδέα όμως δεν μπορώ να καταλάβω γιατί όταν σπάμε το ολοκλήρωμα γίνεται \int_{1}^{e}(\int_{1}^{e}f(x)dx)dt = (e-1)\int_{1}^{e}f(t)dt


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11106
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Συνάρτηση με ολοκλήρωμα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Μάιος 21, 2019 12:39 am

Aravella έγραψε:
Δευ Μάιος 20, 2019 11:17 pm

Είχα και εγώ παρόμοια ιδέα όμως δεν μπορώ να καταλάβω γιατί όταν σπάμε το ολοκλήρωμα γίνεται \int_{1}^{e}(\int_{1}^{e}f(x)dx)dt = (e-1)\int_{1}^{e}f(t)dt
Υπόδειξη: Το μέσα ολοκλήρωμα είναι ένας σταθερός αριθμός. Πες τον k. To k βγαίνει έξω από το ολοκλήρωμα. Τι μένει μέσα; Πόσο θα βρεις αν κάνεις την ολοκλήρωση;


Aravella
Δημοσιεύσεις: 9
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 06, 2018 7:43 pm

Re: Συνάρτηση με ολοκλήρωμα

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Aravella » Τετ Μάιος 22, 2019 6:01 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Τρί Μάιος 21, 2019 12:39 am
Aravella έγραψε:
Δευ Μάιος 20, 2019 11:17 pm

Είχα και εγώ παρόμοια ιδέα όμως δεν μπορώ να καταλάβω γιατί όταν σπάμε το ολοκλήρωμα γίνεται \int_{1}^{e}(\int_{1}^{e}f(x)dx)dt = (e-1)\int_{1}^{e}f(t)dt
Υπόδειξη: Το μέσα ολοκλήρωμα είναι ένας σταθερός αριθμός. Πες τον k. To k βγαίνει έξω από το ολοκλήρωμα. Τι μένει μέσα; Πόσο θα βρεις αν κάνεις την ολοκλήρωση;
Καταλαβα...ολοκληρώνουμε το k ως x και από τα δυο άκρα γίνεται (e-1) ευχαριστώ πολύ για την βοήθεια σας!!


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης