Ολοκλήρωμα με οπτική...

Συντονιστής: R BORIS

Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2807
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Ολοκλήρωμα με οπτική...

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Τρί Απρ 23, 2019 10:17 pm

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα \displaystyle{\int_0^1 \sqrt{4-x^2}dx.} Προφανώς με σχολική ύλη...


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3834
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Re: Ολοκλήρωμα με οπτική...

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Απρ 23, 2019 11:18 pm

Χαλό Λευτέρη ...

Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε:
Τρί Απρ 23, 2019 10:17 pm
Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα \displaystyle{\int_0^1 \sqrt{4-x^2}dx.} Προφανώς με σχολική ύλη...

Δουλεύουμε στο παρακάτω σχήμα:

\displaystyle{\begin{tikzpicture} 
\draw[thick, blue] (-2, 0) -- (2,0) arc(0:180:2) --cycle; 
\draw [->, dashed] (-2.5, 0) -- (2.5, 0) node[below]{x}; 
\draw [->, dashed] (0, 0) -- (0, 3) node[left]{y};  
\draw (0, 0) node[below]{O}; 
\draw (0, 2.3) node[left]{\text{\gr Γ}}; 
\foreach \i in {-2, -1, 2} 
  { 
  \draw (\i, 0) node[below]{\i}; 
 
 } 
 
\draw [dashed] (1, 0) -- (1, 2.5); 
\draw [dashed] (0, 0) -- (1, 1.7320); 
\draw[fill=black]  (1, 1.7320) circle (2pt); 
\draw[fill=black] (0, 0) circle(2pt); 
\draw[fill=black] (0, 2) circle(2pt); 
\draw (1, 1.7320) node[right]{A}; 
\draw (1, 0) node[below]{B}; 
\draw [shift={(0,0)},color=green,fill=green,fill opacity=0.1] (0,0) -- (60:0.6) arc (60:90:0.6) -- cycle; 
\draw [shift={(0,0)},color=green,fill=red,fill opacity=0.1] (0,0) -- (0:0.6) arc (0:60:0.6) -- cycle; 
\draw[color=gray,fill=gray,fill opacity=0.1] (0,0.42) -- (-0.42,0.42) -- (-0.42,0) -- (0,0) -- cycle;  
 
\end{tikzpicture}}
Άρα το ολοκλήρωμα \bigintsss_0^1 \sqrt{4-x^2} \; \mathrm{d}x είναι ίσο με:

\displaystyle{\begin{aligned} 
\int_{0}^{1} \sqrt{4-x^2} \; \mathrm{d}x &= \left ( \overset{\triangle}{\mathrm{OAB}} \right )  + \left ( \mathrm{E}_{\text{\gr κυκλικού \;\; τομέα}} \right )\\  
 &= \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi \cdot 2 ^2 \cdot \frac{30}{360} \\ 
 &= \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{4\pi}{12} \\ 
 &= \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} 
\end{aligned}}
αφού η κόκκινη γωνία είναι 60^\circ από το τρίγωνο \mathrm{OAB} διότι \tan \hat{\mathrm{O}} = \sqrt{3} ( καθώς \mathrm{OB}=1 \; , \; \mathrm{AB}=\sqrt{3} ). Άρα για τη πράσινη γωνία έχουμε 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ =30^\circ. Συνεπώς ο κυκλικός τομέας έχει επίκεντρη γωνία \mu = 30^\circ και άρα εμβαδόν

\displaystyle{\mathrm{E} = \pi \rho^2 \cdot \frac{\mu}{360}}
όπου \rho=2.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2159
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Ολοκλήρωμα με οπτική...

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Τετ Απρ 24, 2019 12:38 am

το σχολικο αναφερει το \int_{0}^{1}{\sqrt{1-x^2}dx} ara αρα \displaystyle{x==2u...}


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3834
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Re: Ολοκλήρωμα με οπτική...

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Απρ 24, 2019 12:50 am

R BORIS έγραψε:
Τετ Απρ 24, 2019 12:38 am
το σχολικο αναφερει το \int_{0}^{1}{\sqrt{1-x^2}dx} ara αρα \displaystyle{x==2u...}
Δε καταλαβαίνω !!


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
stranger
Δημοσιεύσεις: 28
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am

Re: Ολοκλήρωμα με οπτική...

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Τετ Απρ 24, 2019 2:22 am

R BORIS έγραψε:
Τετ Απρ 24, 2019 12:38 am
το σχολικο αναφερει το \int_{0}^{1}{\sqrt{1-x^2}dx} ara αρα \displaystyle{x==2u...}
Αλλάζουν τα άκρα ολοκλήρωσης αν θέσεις x=2u.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Άβαταρ μέλους
apotin
Δημοσιεύσεις: 828
Εγγραφή: Τετ Απρ 08, 2009 5:53 pm

Re: Ολοκλήρωμα με οπτική...

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από apotin » Τετ Απρ 24, 2019 8:02 am

R BORIS έγραψε:
Τετ Απρ 24, 2019 12:38 am
το σχολικο αναφερει το \int_{0}^{1}{\sqrt{1-x^2}dx} ara αρα \displaystyle{x==2u...}
Που και τι αναφέρει;


Αποστόλης
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3834
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Re: Ολοκλήρωμα με οπτική...

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Απρ 24, 2019 10:00 am

apotin έγραψε:
Τετ Απρ 24, 2019 8:02 am
R BORIS έγραψε:
Τετ Απρ 24, 2019 12:38 am
το σχολικο αναφερει το \int_{0}^{1}{\sqrt{1-x^2}dx} ara αρα \displaystyle{x==2u...}
Που και τι αναφέρει;

Το σχολικό έχει μία εφαρμογή λυμένη στο "Εμβαδόν Επιπέδου Χωρίου".

90dcc15d-c34d-4576-8876-761bde7c266e.png
90dcc15d-c34d-4576-8876-761bde7c266e.png (211.52 KiB) Προβλήθηκε 213 φορές

Αλλά πώς σχετίζεται αυτή με το θέμα που συζητάμε αφού ζητάμε σχολική λύση; Η εφαρμογή είναι εκτός διδακτέας και εξεταστέας ύλης συνεπώς ο μαθητής δε μπορεί να χρησιμοποιήσει την αντικατάσταση x=2\sin t. Βέβαια, διδάσκεται στα φροντιστήρια! Τα ωραία της εκπαίδευσης μας!!


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
apotin
Δημοσιεύσεις: 828
Εγγραφή: Τετ Απρ 08, 2009 5:53 pm

Re: Ολοκλήρωμα με οπτική...

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από apotin » Τετ Απρ 24, 2019 10:10 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Τετ Απρ 24, 2019 10:00 am
apotin έγραψε:
Τετ Απρ 24, 2019 8:02 am
R BORIS έγραψε:
Τετ Απρ 24, 2019 12:38 am
το σχολικο αναφερει το \int_{0}^{1}{\sqrt{1-x^2}dx} ara αρα \displaystyle{x==2u...}
Που και τι αναφέρει;

Το σχολικό έχει μία εφαρμογή λυμένη στο "Εμβαδόν Επιπέδου Χωρίου".

Αλλά πώς σχετίζεται αυτή με το θέμα που συζητάμε αφού ζητάμε σχολική λύση; Η εφαρμογή είναι εκτός διδακτέας και εξεταστέας ύλης συνεπώς ο μαθητής δε μπορεί να χρησιμοποιήσει την αντικατάσταση x=2\sin t. Βέβαια, διδάσκεται στα φροντιστήρια! Τα ωραία της εκπαίδευσης μας!!
Αυτό αναρωτιέμαι


Αποστόλης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης