Ύπαρξη σταθεράς

Συντονιστής: R BORIS

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3843
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Ύπαρξη σταθεράς

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Μαρ 31, 2019 11:11 pm

Έστω f:[0, 1] \rightarrow \mathbb{R} παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο και f(0)=0. Αν είναι \displaystyle{\int_0^1 f(x) \; \mathrm{d}x =\int_0^1 x f(x) \; \mathrm{d}x} τότε να δειχθεί ότι υπάρχει \xi \in (0, 1) τέτοιο ώστε

\displaystyle{\int_0^\xi x f(x) \; \mathrm{d}x = \frac{2\xi}{3} \int_0^\xi f(x) \; \mathrm{d}x}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Laplace-Gauss
Δημοσιεύσεις: 6
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 07, 2019 11:15 am

Re: Ύπαρξη σταθεράς

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Laplace-Gauss » Κυρ Μαρ 31, 2019 11:58 pm

Η ισότητα του ολοκληρώματος για ποια x ισχύει;


Μécanique genius
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3843
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Re: Ύπαρξη σταθεράς

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Απρ 01, 2019 12:00 am

Laplace-Gauss έγραψε:
Κυρ Μαρ 31, 2019 11:58 pm
Η ισότητα του ολοκληρώματος για ποια x ισχύει;

Δε καταλαβαίνω!


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Laplace-Gauss
Δημοσιεύσεις: 6
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 07, 2019 11:15 am

Re: Ύπαρξη σταθεράς

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Laplace-Gauss » Δευ Απρ 01, 2019 12:04 am

:oops:
Δικό μου λάθος , παρερμηνευσα


Μécanique genius
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3843
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Re: Ύπαρξη σταθεράς

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Απρ 21, 2019 12:24 pm

Επαναφορά !


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11106
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ύπαρξη σταθεράς

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Απρ 21, 2019 1:40 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Μαρ 31, 2019 11:11 pm
Έστω f:[0, 1] \rightarrow \mathbb{R} παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο και f(0)=0. Αν είναι \displaystyle{\int_0^1 f(x) \; \mathrm{d}x =\int_0^1 x f(x) \; \mathrm{d}x} τότε να δειχθεί ότι υπάρχει \xi \in (0, 1) τέτοιο ώστε

\displaystyle{\int_0^\xi x f(x) \; \mathrm{d}x = \frac{2\xi}{3} \int_0^\xi f(x) \; \mathrm{d}x}
Θέτουμε \displaystyle{ F(t)= t^2\int_0^t x f(x) dx -   t^3\int_0^t  f(x) dx}, οπότε από την υπόθεση είναι F(0)=F(1)=0. Από Rolle είναι F'(\xi)=0 για κάποιo \xi\in (0,1). Άρα

\displaystyle{2\xi \int_0^{\xi} x f(x) dx + \xi ^2 \cdot \xi f(\xi) - 3\xi ^2 \int_0^{\xi}f(x) dx - \xi ^3 f(\xi)=0},

που ισοδυναμεί με το ζητούμενο (απλοποιούνται δύο προσθετέοι).

(Δεν φαίνεται να χρειάστηκε η υπόθεση f(0)=0 ούτε ότι η f είναι παραγωγίσιμη και μάλιστα συνεχώς).


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3843
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Re: Ύπαρξη σταθεράς

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Απρ 21, 2019 1:50 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Κυρ Απρ 21, 2019 1:40 pm

Θέτουμε \displaystyle{ F(t)= t^2\int_0^t x f(x) dx -   t^3\int_0^t  f(x) dx}, οπότε από την υπόθεση είναι F(0)=F(1)=0. Από Rolle είναι F'(\xi)=0 για κάποιo \xi\in (0,1). Άρα

\displaystyle{2\xi \int_0^{\xi} x f(x) dx + \xi ^2 \cdot \xi f(\xi) - 3\xi ^2 \int_0^{\xi}f(x) dx - \xi ^3 f(\xi)=0},

που ισοδυναμεί με το ζητούμενο (απλοποιούνται δύο προσθετέοι).

(Δεν φαίνεται να χρειάστηκε η υπόθεση f(0)=0 ούτε ότι η f είναι παραγωγίσιμη και μάλιστα συνεχώς).
Μιχάλη , κάτι πήγε λάθος αφού το ισοδύναμο είναι:

\displaystyle{2\xi \int_0^\xi x f(x) \, \mathrm{d}x = 3\xi^2 \int_{0}^{\xi} f(x) \, \mathrm{d}x \Leftrightarrow \int_{0}^{\xi}x f(x) \, \mathrm{d}x = \frac{3\xi}{2} \int_0^\xi f(x) \; \mathrm{d}x }
ενώ ζητάω \frac{2\xi}{3}.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2345
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ύπαρξη σταθεράς

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Απρ 21, 2019 4:28 pm

Δεν ξέρω τι ζητάς.
Η άσκηση είναι για τον ακροβατικό λογισμό.

Με την επιπλέον υπόθεση (που μπορεί να την έχεις ξεχάσει) ότι f'(0)=0
είναι θεώρημα Rolle για την

Θέτουμε \displaystyle{ F(t)= t^{-3}\int_0^t x f(x) dx -   t^{-2}\int_0^t  f(x) dx}


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3843
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Re: Ύπαρξη σταθεράς

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Απρ 21, 2019 8:08 pm

Υπάρχει και άλλη πιο μακροσκελή λύση αλλά και αυτή μας κάνει. Μιας και είμαστε στο φάκελο της Γ' ας συμπληρώσω κάποιες απαραίτητες λεπτομέρειες.

Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Μαρ 31, 2019 11:11 pm
Έστω f:[0, 1] \rightarrow \mathbb{R} παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο και f(0)=0=f'(0). Αν είναι \displaystyle{\int_0^1 f(x) \; \mathrm{d}x =\int_0^1 x f(x) \; \mathrm{d}x} τότε να δειχθεί ότι υπάρχει \xi \in (0, 1) τέτοιο ώστε

\displaystyle{\int_0^\xi x f(x) \; \mathrm{d}x = \frac{2\xi}{3} \int_0^\xi f(x) \; \mathrm{d}x}

Θεωρούμε τη συνάρτηση

\displaystyle{F(x)= \left\{\begin{matrix}\displaystyle \frac{1}{x^3} \int_{0}^{x} t f(t) \, \mathrm{d}t - \frac{1}{x^2} \int_{0}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t & , & x \in (0, 1] \\0 & , & x =0\end{matrix}\right.}
η οποία είναι συνεχής στο [0, 1]. ( Γιατί ; ) Επιπλέον η F είναι παραγωγίσιμη στο (0, 1) με παράγωγο

\displaystyle{\begin{aligned} 
F'(x) &= \frac{x^4 f(x)-3x^2 \int_{0}^{x} tf(t) \; \mathrm{d}t}{x^6} - \frac{x^2 f(x)-2x\int_{0}^{x}f(t) \, \mathrm{d}t}{x^4} \\  
 &=\frac{x^4 f(x)-3x^2 \int_{0}^{x} tf(t) \; \mathrm{d}t}{x^6} -\frac{x^2 \left ( x^2 f(x)-2x\int_{0}^{x}f(t) \, \mathrm{d}t \right )}{x^6} \\  
 &= \frac{x^4 f(x)-3x^2 \int_0^x t f(t) \, \mathrm{d}t-x^4f(x)+2x^3 \int_0^x f(t) \, \mathrm{d}t}{x^6} \\ 
 &=\frac{2x^3 \int_0^x f(t) \, \mathrm{d}t - 3x^2 \int_0^x t f(t) \, \mathrm{d}t}{x^6} 
\end{aligned}}
Τέλος, επειδή F(1)=0=F(0) το ζητούμενο έπεται από Rolle.



Συγνώμη για το f'(0)=0 που το φαγα... !


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11106
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ύπαρξη σταθεράς

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Απρ 21, 2019 8:38 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Απρ 21, 2019 1:50 pm
Μιχάλη , κάτι πήγε λάθος αφού το ισοδύναμο είναι:

\displaystyle{2\xi \int_0^\xi x f(x) \, \mathrm{d}x = 3\xi^2 \int_{0}^{\xi} f(x) \, \mathrm{d}x \Leftrightarrow \int_{0}^{\xi}x f(x) \, \mathrm{d}x = \frac{3\xi}{2} \int_0^\xi f(x) \; \mathrm{d}x }
ενώ ζητάω \frac{2\xi}{3}.
Ναι, αβλεψία μου εκ παραδρομής. Το ενδιαφέρον είναι ότι η αρχική άσκηση, δηλαδή
Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Μαρ 31, 2019 11:11 pm
Έστω f:[0, 1] \rightarrow \mathbb{R} παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο και f(0)=0. Αν είναι \displaystyle{\int_0^1 f(x) \; \mathrm{d}x =\int_0^1 x f(x) \; \mathrm{d}x} τότε να δειχθεί ότι υπάρχει \xi \in (0, 1) τέτοιο ώστε

\displaystyle{\int_0^\xi x f(x) \; \mathrm{d}x = \frac{2\xi}{3} \int_0^\xi f(x) \; \mathrm{d}x}
είναι λάθος. Συμπτωματικά, λοιπόν, έλυσα την σωστή άσκηση. Ας δούμε παράδειγμα.

Για την f(x)=x-2x^2 είναι f(0)=0 και \displaystyle{\int_0^1 (x-2x^2) dx =\int_0^1 x(x-2x^2)dx= -\frac {1}{6} .

Τώρα, η συνθήκη \displaystyle{\int_0^t x f(x) dx = \frac{2t}{3} \int_0^tf(x) dx} γίνεται

\displaystyle{\int_0^t x (x-2x^2) dx = \frac{2t}{3} \int_0^t (x-2x^2) dx} ισοδύναμα

\displaystyle{\frac {1}{3}t^3-\frac {1}{2}t^4 = \frac{2t}{3} \left  ( \frac {1}{2}t^2-\frac {2}{3}t^3\right ) }} ή (με την απλοποίηση του t^3)

\displaystyle{0-\frac {1}{2}t^4 = \frac{2t}{3} \left  ( 0 -\frac {2}{3}t^3\right ) }}, οπότε t=0.

Πρόβλημα!


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11106
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ύπαρξη σταθεράς

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Απρ 21, 2019 8:46 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Απρ 21, 2019 8:08 pm
Υπάρχει και άλλη πιο μακροσκελή λύση αλλά και αυτή μας κάνει.
Τόλη, κάτι έχεις παρανοήσει εδώ. Η λύση που γράφεις είναι ακριβώς η λύση του Σταύρου (μόνο που δεν έβαλε τις πράξεις) που με την σειρά της είναι η λύση που έγραψα με διόρθωση των εκθετών στα x έξω από το ολοκλήρωμα (ώστε να βγει το σωστό κλάσμα).


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3843
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Re: Ύπαρξη σταθεράς

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Απρ 22, 2019 12:00 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Κυρ Απρ 21, 2019 8:46 pm

Τόλη, κάτι έχεις παρανοήσει εδώ. Η λύση που γράφεις είναι ακριβώς η λύση του Σταύρου (μόνο που δεν έβαλε τις πράξεις) που με την σειρά της είναι η λύση που έγραψα με διόρθωση των εκθετών στα x έξω από το ολοκλήρωμα (ώστε να βγει το σωστό κλάσμα).
Όχι Μιχάλη. Δεν έχω παρανοήσει κάτι! Έχω δει πιο μακροσκελή λύση! Έγραψα τη λύση του Σταύρου με περισσότερες λεπτομέρειες λόγω φακέλου. Τίποτα παραπάνω!


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης