Εύρεση παράγουσας

Συντονιστής: R BORIS

Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 907
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Εύρεση παράγουσας

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Κυρ Μαρ 31, 2019 12:47 am

Αναρωτιέμαι αν υπάρχει κάποιος σχολικός τρόπος για την εύρεση παράγουσας της συνάρτησης:

\displaystyle{\frac{\cos x}{\cos x - \sin x}}
Η λύση μου είναι με αλλαγή μεταβλητής που είναι εκτός ύλης.

Φιλικά,
Μάριος


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4493
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Εύρεση παράγουσας

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Μαρ 31, 2019 1:03 am

M.S.Vovos έγραψε:
Κυρ Μαρ 31, 2019 12:47 am
Αναρωτιέμαι αν υπάρχει κάποιος σχολικός τρόπος για την εύρεση παράγουσας της συνάρτησης:

\displaystyle{\frac{\cos x}{\cos x - \sin x}}
Η λύση μου είναι με αλλαγή μεταβλητής που είναι εκτός ύλης.

Φιλικά,
Μάριος
Με την αγαπημένη μου τεχνική. ( μία από τις δύο βασικά για υπολογισμό αορίστων )


Ψάχνουμε αυτό το ολοκλήρωμα: \displaystyle{\int \frac{\cos x}{\cos x- \sin x} \, \mathrm{d}x }. Το δηλώνουμε με \mathcal{I}. Θεωρούμε και το ολοκλήρωμα \displaystyle{\int \frac{\sin x}{\cos x- \sin x} \, \mathrm{d}x}. Αυτό το καλούμε \mathcal{J}. Τότε:

\displaystyle{\begin{aligned} 
\mathcal{I} + \mathcal{J} &= \int \frac{\cos x}{\cos x - \sin x} \, \mathrm{d}x + \int \frac{\sin x}{\cos x - \sin x} \, \mathrm{d}x \\  
 &=  \int \frac{\cos x + \sin x}{\cos x - \sin x} \; \mathrm{d}x\\  
 &= - \ln \left ( \cos x - \sin x \right ) + c  
\end{aligned}}
και

\displaystyle{\begin{aligned} 
\mathcal{I} - \mathcal{J} &= \int \frac{\cos x}{\cos x - \sin x} \, \mathrm{d}x - \int \frac{\sin x}{\cos x - \sin x} \, \mathrm{d}x \\  
 &=  \int \frac{\cos x - \sin x}{\cos x - \sin x} \; \mathrm{d}x\\  
 &= x+c 
\end{aligned}}

Οπότε προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε:

\displaystyle{\begin{aligned} 
2 \mathcal{I} = x - \ln \left ( \cos x - \sin x \right )+c &\Leftrightarrow \mathcal{I} = \frac{x - \ln \left ( \cos x - \sin x \right )}{2} + c   
\end{aligned}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12989
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Εύρεση παράγουσας

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Μαρ 31, 2019 9:00 am

M.S.Vovos έγραψε:
Κυρ Μαρ 31, 2019 12:47 am
Αναρωτιέμαι αν υπάρχει κάποιος σχολικός τρόπος για την εύρεση παράγουσας της συνάρτησης:

\displaystyle{\frac{\cos x}{\cos x - \sin x}}
Ο στάνταρ τρόπος για ολοκληρώματα συναρτήσεων της μορφής \dfrac{a\sin x + b\cos x}{c\sin x + d\cos x}} (εδώ a=0,b=1,c=-1,d=1 είναι να βρούμε συντελέστες A.B έτσι ώστε

a\sin x + b\cos x = A(c\sin x + d\cos x) + B(c\sin x + d\cos x)' =
=  A(c\sin x + d\cos x) + B(c\cos x - d\sin x).

Με άλλα λόγια, συγκρίνοντας είναι a= Ac-Bd, \, b=Ad+Bc. Λύνουμε τώρα ως προς A,B.

Εννοείται, η προς ολοκλήρωση ανάγεται στην ολοκλήρωση της μορφής A+ \dfrac {B f'(x)}{f(x)}  . Και λοιπά


Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 907
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Re: Εύρεση παράγουσας

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Κυρ Μαρ 31, 2019 4:05 pm

Ευχαριστώ και τους δύο πολύ. Προβληματίζομαι στο αν τα παραπάνω μπορούν να ζητηθούν από τους μαθητές της Γ' λυκείου. Μπορεί να είναι μέσα στην ύλη τους αλλά πως κρίνεται την φιλοσοφία μιας τέτοιας ερώτησης για την συγκεκριμένη τάξη;


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4493
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Εύρεση παράγουσας

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Μαρ 31, 2019 4:13 pm

M.S.Vovos έγραψε:
Κυρ Μαρ 31, 2019 4:05 pm
Προβληματίζομαι στο αν τα παραπάνω μπορούν να ζητηθούν από τους μαθητές της Γ' λυκείου. Μπορεί να είναι μέσα στην ύλη τους αλλά πως κρίνεται την φιλοσοφία μιας τέτοιας ερώτησης για την συγκεκριμένη τάξη;
Ναι μπορούν άνετα! Δεν είναι δα και κάτι δύσκολο! Εξάλλου και το σχολικό έχει παρόμοια άσκηση σελ.222 , άσκηση 10. Αν δε καταλαβαίνουν , κακό του κεφαλιού τους.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2263
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Εύρεση παράγουσας

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Κυρ Μαρ 31, 2019 7:42 pm

Να επισημάνω κάτι τυπικό οι σταθερές c δεν είναι υποχρεωτικά ίδιες


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4493
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Εύρεση παράγουσας

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Μαρ 31, 2019 10:48 pm

Ροδόλφε ,

προφανώς και δεν είναι! Νομίζω είναι κατανοητό αυτό άσχετα αν εγώ τις έβαλα όλες c.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1882
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Εύρεση παράγουσας

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Κυρ Μαρ 31, 2019 11:50 pm

Μάριε από ότι θυμάμαι διδάσκεις σε τάξη και είσαι σε ένα φροντιστήριο.

Δώσε στα παιδιά σου την εξίσωση f'(x)=\displaystyle{\frac{\cos x}{\cos x - \sin x}, x\in (0,\frac{\pi}{4})} και ζήτα τους να βρεθεί η f δες τι γίνεται και του χρόνου φτιάχνεις ένα διαγώνισμα που στηρίζεται στην εύρεση αυτής της παράγουσας.

Υ.Γ Το πεδίο ορισμού το έβαλα στην τύχη .


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης