Υπολογισμός ορίου

Συντονιστής: R BORIS

ann79
Δημοσιεύσεις: 258
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 30, 2014 4:45 pm

Υπολογισμός ορίου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ann79 » Δευ Φεβ 18, 2019 2:14 pm

Καλησπέρα.

Για τη συνάρτηση f(x)=\left\{\begin{matrix}
\frac{e^{x}-1}{x},x\neq 0\\1,x=0 
\end{matrix}\right., να υπολογιστεί το όριο lim_{x\rightarrow 0^{+}}\int_{x}^{2x}\frac{f(t)}{x}dt

Πως θα βαθμολογούσατε την παρακάτω λύση μαθητή:

Αφού η f είναι συνεχής, έστω F μια αρχική της , τότε εφαρμόζοντας ΘΜΤ στο [x,2x] είναι \int_{x}^{2x}\frac{f(t)}{x}dt=\frac{F(2x)-F(x)}{x}=F'(\xi )=f(\xi ) με \xi \rightarrow 0^{+} και το ζητούμενο όριο είναι lim_{\xi \rightarrow 0^{+}}\frac{e^{\xi }\xi -e^{\xi }+1}{\xi ^{2}}=1/2, δεδομένου ότι το ξ που προκύπτει από το θμτ είναι συνάρτηση του x;



Λέξεις Κλειδιά:
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 508
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Υπολογισμός ορίου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Δευ Φεβ 18, 2019 2:53 pm

ann79 έγραψε:
Δευ Φεβ 18, 2019 2:14 pm
Καλησπέρα.

Για τη συνάρτηση f(x)=\left\{\begin{matrix} 
\frac{e^{x}-1}{x},x\neq 0\\1,x=0  
\end{matrix}\right., να υπολογιστεί το όριο lim_{x\rightarrow 0^{+}}\int_{x}^{2x}\frac{f(t)}{x}dt

Πως θα βαθμολογούσατε την παρακάτω λύση μαθητή:

Αφού η f είναι συνεχής, έστω F μια αρχική της , τότε εφαρμόζοντας ΘΜΤ στο [x,2x] είναι \int_{x}^{2x}\frac{f(t)}{x}dt=\frac{F(2x)-F(x)}{x}=F'(\xi )=f(\xi ) με \xi \rightarrow 0^{+} και το ζητούμενο όριο είναι lim_{\xi \rightarrow 0^{+}}\frac{e^{\xi }\xi -e^{\xi }+1}{\xi ^{2}}=1/2, δεδομένου ότι το ξ που προκύπτει από το θμτ είναι συνάρτηση του x;
Η λύση είναι προφανώς λάθος αφού θα έπρεπε να πάρει στο τέλος \displaystyle lim_{\xi \rightarrow 0^{+}}f(\xi )

και όχι \displaystyle lim_{\xi \rightarrow 0^{+}}{f}'(\xi ). Με την παραπάνω διόρθωση και πάλι η λύση του μαθητή

''μπάζει'' όσον αφορά την τεκμηρίωση. Το \xi είναι συνάρτηση του x λόγω κυρτότητας.

Μπορείτε να του προτείνεται μια φυσιολογική λύση μέσα σε σχολικά πλαίσια. Ας δείξει ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. Τότε

\displaystyle f(x)\leq f(t)\leq f(2x)\Rightarrow xf(x)\leq \int_{x}^{2x}f(t)dt\leq x f(2x)\Rightarrow f(x)\leq \int_{x}^{2x}\frac{f(t)}{x}dt\leq f(2x)

Tέλος όρια στην τελευταία.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες