Ολοκλήρωμα και όριο

Συντονιστής: R BORIS

ann79
Δημοσιεύσεις: 258
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 30, 2014 4:45 pm

Ολοκλήρωμα και όριο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ann79 » Τετ Φεβ 13, 2019 12:12 pm

Έστω η f(x)=ln(e^{2x}-1)-ln(2x), να υπολογιστεί το όριο lim_{x\rightarrow +\infty}\int_{\frac{2}{x}}^{\frac{3}{x}}xf(t)dt.

Η παρακάτω λύση είναι σωστή;

Θέτω \frac{1}{x}=u, u\rightarrow 0 για x\rightarrow +\infty και αν F μια αρχική της f( που υπάρχει αφού η f είναι συνεχής στο (0,+\infty)) , τότε είναι lim_{u\rightarrow 0^{+}}\frac{F(3u)-F(2u)}{u}=lim_{u\rightarrow 0^{+}}(3f(3u)-2f(2u))=0, αφού lim_{u\rightarrow 0^{+}}f(3u)=lim_{u\rightarrow 0^{+}}f(2u)=0.



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ολοκλήρωμα και όριο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Φεβ 14, 2019 1:12 pm

ann79 έγραψε:
Τετ Φεβ 13, 2019 12:12 pm
Έστω η f(x)=ln(e^{2x}-1)-ln(2x), να υπολογιστεί το όριο lim_{x\rightarrow +\infty}\int_{\frac{2}{x}}^{\frac{3}{x}}xf(t)dt.

Η παρακάτω λύση είναι σωστή;

Θέτω \frac{1}{x}=u, u\rightarrow 0 για x\rightarrow +\infty και αν F μια αρχική της f( που υπάρχει αφού η f είναι συνεχής στο (0,+\infty)) , τότε είναι lim_{u\rightarrow 0^{+}}\frac{F(3u)-F(2u)}{u}=lim_{u\rightarrow 0^{+}}(3f(3u)-2f(2u))=0, αφού lim_{u\rightarrow 0^{+}}f(3u)=lim_{u\rightarrow 0^{+}}f(2u)=0.
Εκτός του ότι έχει παραληφθεί η δικαιολόγηση του

lim_{u\rightarrow 0^{+}}f(3u)=lim_{u\rightarrow 0^{+}}f(2u)=0

δεν βλέπω κάποιο πρόβλημα.


stranger
Δημοσιεύσεις: 39
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: United States of America

Re: Ολοκλήρωμα και όριο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Παρ Φεβ 15, 2019 2:27 am

Επίσης πρέπει να δικαιολογήσεις γιατι F(3u)-F(2u) \rightarrow 0 όταν u \rightarrow 0^{+} για να εφαρμόσεις Del'hospital.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ολοκλήρωμα και όριο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Φεβ 15, 2019 9:00 am

Από την
lim_{u\rightarrow 0^{+}}f(3u)=lim_{u\rightarrow 0^{+}}f(2u)=0
προκύπτει ότι η f μπορεί να ορισθεί στο 0 ώστε να είναι συνεχής
στο [0,\infty )
οπότε F(0)=0


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης