Ισότητα ολοκληρωμάτων

Συντονιστής: R BORIS

Άβαταρ μέλους
nikos_el
Δημοσιεύσεις: 123
Εγγραφή: Παρ Ιαν 02, 2015 5:00 pm

Ισότητα ολοκληρωμάτων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikos_el » Παρ Φεβ 08, 2019 5:43 pm

Να δείξετε ότι δεν υπάρχει συνεχής συνάρτηση f:\left[0,1\right]\rightarrow\left[0,+\infty\right) τέτοια, ώστε \displaystyle \int_0^1f\left(x\right)dx=\int_0^1xf\left(x\right)dx=\int_0^1x^2f\left(x\right)dx=1.

Η λύση:
Γενικά, αποδεικνύεται ότι, αν f:\left[a,b\right]\rightarrow\left[0,+\infty) συνεχής συνάρτηση, ισχύει η ισοδυναμία: \displaystyle \left(f\left(x\right)=0, \forall x\in\left[a,b\right]\right)\Leftrightarrow \int_a^bf\left(x\right)dx=0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  (1).
Έστω ότι υπάρχει τέτοια συνάρτηση. Έχουμε: \displaystyle \int_0^1f\left(x\right)dx=\int_0^1xf\left(x\right)\Leftrightarrow \int_0^1\left(f\left(x\right)-xf\left(x\right)\right)dx=0\overset{(1)}{\Leftrightarrow} f\left(x\right)\left(1-x\right)=0, \forall x\in\left[0,1\right]. Όμως, x-1=0, μόνο για x=1, οπότε θα πρέπει f\left(x\right)=0, \forall x\in\left[0,1\right). Τότε, θα ισχύει: \displaystyle \lim_{x\rightarrow1}f\left(x\right)=0 και αφού η f είναι συνεχής, ισχύει: f\left(1\right)=0, δηλαδή f\left(x\right)=0, \forall x\in\left[0,1\right]. Είναι: \displaystyle \int_0^1f\left(x\right)dx=0, άτοπο. Άρα, δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση.


Υπάρχει κάποιο λάθος στη λύση ή το τρίτο ολοκήρωμα της εκφώνησης (\displaystyle \int_0^1 x^2f\left(x\right)dx) είναι περιττό ως δεδομένο;
τελευταία επεξεργασία από nikos_el σε Παρ Φεβ 08, 2019 8:16 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


The road to success is always under construction

Λέξεις Κλειδιά:
stranger
Δημοσιεύσεις: 44
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: United States of America

Re: Ισότητα ολοκληρωμάτων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Παρ Φεβ 08, 2019 7:06 pm

Η απόδειξη σου είναι σωστή.Το μόνο που χρειάζεται ως δεδομένο για την άσκηση είναι \int_{0}^{1}f(x)dx = \int_{0}^{1}xf(x)dx \neq 0.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 435
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ισότητα ολοκληρωμάτων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Παρ Φεβ 08, 2019 11:22 pm

nikos_el έγραψε:
Παρ Φεβ 08, 2019 5:43 pm
Να δείξετε ότι δεν υπάρχει συνεχής συνάρτηση f:\left[0,1\right]\rightarrow\left[0,+\infty\right) τέτοια, ώστε \displaystyle \int_0^1f\left(x\right)dx=\int_0^1xf\left(x\right)dx=\int_0^1x^2f\left(x\right)dx=1.

Η λύση:
Γενικά, αποδεικνύεται ότι, αν f:\left[a,b\right]\rightarrow\left[0,+\infty) συνεχής συνάρτηση, ισχύει η ισοδυναμία: \displaystyle \left(f\left(x\right)=0, \forall x\in\left[a,b\right]\right)\Leftrightarrow \int_a^bf\left(x\right)dx=0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  (1).
Έστω ότι υπάρχει τέτοια συνάρτηση. Έχουμε: \displaystyle \int_0^1f\left(x\right)dx=\int_0^1xf\left(x\right)\Leftrightarrow \int_0^1\left(f\left(x\right)-xf\left(x\right)\right)dx=0\overset{(1)}{\Leftrightarrow} f\left(x\right)\left(1-x\right)=0, \forall x\in\left[0,1\right]. Όμως, x-1=0, μόνο για x=1, οπότε θα πρέπει f\left(x\right)=0, \forall x\in\left[0,1\right). Τότε, θα ισχύει: \displaystyle \lim_{x\rightarrow1}f\left(x\right)=0 και αφού η f είναι συνεχής, ισχύει: f\left(1\right)=0, δηλαδή f\left(x\right)=0, \forall x\in\left[0,1\right]. Είναι: \displaystyle \int_0^1f\left(x\right)dx=0, άτοπο. Άρα, δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση.


Υπάρχει κάποιο λάθος στη λύση ή το τρίτο ολοκήρωμα της εκφώνησης (\displaystyle \int_0^1 x^2f\left(x\right)dx) είναι περιττό ως δεδομένο;
Την f μπορείς να τη δεις σαν συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας μιας συνεχούς τ.μ. .

Από τις υποθέσεις παίρνεις διασπορά μηδέν το οποίο μπορεί να συμβαίνει μόνο αν η τ.μ. είναι σταθερή εκτός

ίσως από ένα σύνολο μέτρου μηδέν. Τα παραπάνω δείχνουν ότι η άσκηση μπορεί να σταθεί σε ένα γενικότερο πλαίσιο. Συγνώμη τώρα είδα ότι είμαστε σε λυκειακό φάκελο


stranger
Δημοσιεύσεις: 44
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: United States of America

Re: Ισότητα ολοκληρωμάτων

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Σάβ Φεβ 09, 2019 1:09 am

Αν ξεφύγουμε από τα μαθηματικά του λυκείου λιγο,τότε η υπόθεση να είναι συνεχής η συνάρτηση δεν χρειάζεται.Αρκεί να είναι Lebesgue ολοκληρώσιμη και το συμπέρασμα ισχύει πάλι.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός
Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1666
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Ισότητα ολοκληρωμάτων

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Σάβ Φεβ 09, 2019 1:12 pm

Μήπως διορθώνει έτσι την εκφώνηση;
Να δείξετε ότι δεν υπάρχει συνεχής συνάρτηση f:\left[0,2\right]\rightarrow\left[0,+\infty\right) τέτοια, ώστε \displaystyle \int_0^2f\left(x\right)dx=\int_0^2xf\left(x\right)dx=\int_0^2x^2f\left(x\right)dx=1.


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
sot arm
Δημοσιεύσεις: 178
Εγγραφή: Τρί Μάιος 03, 2016 5:25 pm

Re: Ισότητα ολοκληρωμάτων

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sot arm » Σάβ Φεβ 09, 2019 1:38 pm

Μπορούμε να γενικεύσουμε κάπως, έστω:

0\leq a\leq 1 να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις:
\displaystyle{f:[0,1]\rightarrow [0,+\infty)} έτσι ώστε:

\displaystyle{\int_{0}^{1}f(x)dx=1}
\displaystyle{\int_{0}^{1}xf(x)dx=a}
\displaystyle{\int_{0}^{1}x^{2}f(x)dx=a^{2}}

Το παραπάνω είναι προφανώς εφαρμογή για a=1 , απλά έτσι έχει νόημα και η τρίτη συνθήκη.


Αρμενιάκος Σωτήρης
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11276
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ισότητα ολοκληρωμάτων

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Φεβ 09, 2019 3:08 pm

sot arm έγραψε:
Σάβ Φεβ 09, 2019 1:38 pm

0\leq a\leq 1 να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις:
\displaystyle{f:[0,1]\rightarrow [0,+\infty)} έτσι ώστε:

\displaystyle{\int_{0}^{1}f(x)dx=1}
\displaystyle{\int_{0}^{1}xf(x)dx=a}
\displaystyle{\int_{0}^{1}x^{2}f(x)dx=a^{2}}
Για συναρτήσεις που συναντάμε στην Γ Λυκείου (εντός φακέλου δηλαδή).

 {\int_{0}^{1}(a-x)^2f(x)dx=... =  a^2\cdot 1 - 2a\cdot a  + a^2  =0 οπότε (απλό) f(x)=0 για κάθε x\ne a και άρα για x=a, από συνέχεια. Τότε όμως δεν ικανοποιείται η πρώτη δοθείσα. Άρα δεν υπάρχει τέτοια f.


achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2626
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Ισότητα ολοκληρωμάτων

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Σάβ Φεβ 09, 2019 3:25 pm

sot arm έγραψε:
Σάβ Φεβ 09, 2019 1:38 pm
Μπορούμε να γενικεύσουμε κάπως, έστω:

0\leq a\leq 1 να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις:
\displaystyle{f:[0,1]\rightarrow [0,+\infty)} έτσι ώστε:

\displaystyle{\int_{0}^{1}f(x)dx=1}
\displaystyle{\int_{0}^{1}xf(x)dx=a}
\displaystyle{\int_{0}^{1}x^{2}f(x)dx=a^{2}}

Το παραπάνω είναι προφανώς εφαρμογή για a=1 , απλά έτσι έχει νόημα και η τρίτη συνθήκη.


Για συνεχή f, είναι κλασικό από Putnam (A2, 1964). :)


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης