Από Ολοκληρώματα ρίζες
Συντονιστής: R BORIS
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Από Ολοκληρώματα ρίζες
Εστω
Η είναι συνεχής συνάρτηση ώστε
Να δειχθεί ότι η εξίσωση
έχει τουλάχιστον δύο ρίζες στο
Η είναι συνεχής συνάρτηση ώστε
Να δειχθεί ότι η εξίσωση
έχει τουλάχιστον δύο ρίζες στο
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Από Ολοκληρώματα ρίζες
εστω στο θα ισχύει [1]
Αν η είχε μια ρίζα μόνον στο τοτε ενα από τα 4 παρακατω μπορεί να συμβαίνει
[a]
[β]
kαι [c]
kαι [d]
άρα
ολοκληρώνοντας καταλήγουμε άτοπο
ομοίως και στην περίπτωση[β]
ολοκληρώνοντας από ως και απο ως τότε αν προσθέσουμε κατα μέλη προκύπτει
ομοίως και στην περίπτωση [d]
ανάλογα αν
και ομοίως όταν
Αν η είχε μια ρίζα μόνον στο τοτε ενα από τα 4 παρακατω μπορεί να συμβαίνει
[a]
[β]
kαι [c]
kαι [d]
άρα
ολοκληρώνοντας καταλήγουμε άτοπο
ομοίως και στην περίπτωση[β]
ολοκληρώνοντας από ως και απο ως τότε αν προσθέσουμε κατα μέλη προκύπτει
ομοίως και στην περίπτωση [d]
ανάλογα αν
και ομοίως όταν
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Από Ολοκληρώματα ρίζες
Δεν βλέπω γιατίR BORIS έγραψε: ↑Τετ Σεπ 26, 2018 6:40 pmεστω στο θα ισχύει [1]
Αν η είχε μια ρίζα μόνον στο τοτε ενα από τα 4 παρακατω μπορεί να συμβαίνει
[a]
[β]
kαι [c]
kαι [d]
άρα
ολοκληρώνοντας καταλήγουμε άτοπο
ομοίως και στην περίπτωση[β]
ολοκληρώνοντας από ως και απο ως τότε αν προσθέσουμε κατα μέλη προκύπτει
ομοίως και στην περίπτωση [d]
ανάλογα αν όπου
και ομοίως όταν
ανάλογα αν όπου
και ομοίως όταν
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Από Ολοκληρώματα ρίζες
Επαναφορά για τις άλλες περιπτώσεις.
Η άσκηση λύνεται και χωρίς να πάρουμε περιπτώσεις για το .
Η άσκηση λύνεται και χωρίς να πάρουμε περιπτώσεις για το .
Re: Από Ολοκληρώματα ρίζες
Υπάρχει κατάλληλο τέτοιο ώστε το να διατηρεί πρόσημο στο . Αφού ισχύει , η αλλάζει πρόσημο στο (αλλιώς το ολοκλήρωμα θα ήταν μη μηδενικό ή η μηδενική).
Έστω ότι η αλλάζει πρόσημο στο . Πάλι μπορούμε να διαλέξουμε έτσι ώστε , οπότε η διατηρεί πρόσημο στο , αλλάζοντάς το στο (αφού ). Το γεγονός ότι πάλι μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι η συνεχής δεν μπορεί να διατηρεί πρόσημο και στα δύο διαστήματα (γιατί το γινόμενο θα διατηρούσε πρόσημο σε όλο το ) και έτσι έπεται η ύπαρξη ακόμα μίας ρίζας στο .
Έστω ότι η αλλάζει πρόσημο στο . Πάλι μπορούμε να διαλέξουμε έτσι ώστε , οπότε η διατηρεί πρόσημο στο , αλλάζοντάς το στο (αφού ). Το γεγονός ότι πάλι μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι η συνεχής δεν μπορεί να διατηρεί πρόσημο και στα δύο διαστήματα (γιατί το γινόμενο θα διατηρούσε πρόσημο σε όλο το ) και έτσι έπεται η ύπαρξη ακόμα μίας ρίζας στο .
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Από Ολοκληρώματα ρίζες
Γράφω στην ουσία την λύση του Δημήτρη πιο αναλυτικά.
Επειδή στο και
η αλλάζει πρόσημο σε ένα τουλάχιστον σημείο του ή η είναι μηδενική.
Στην δεύτερη περίπτωση το ζητούμενο είναι προφανές.
Έστω ότι η αλλάζει πρόσημο στο οπότε
Έχουμε ότι η είναι θετική στο και αρνητική στο
Αν η δεν αλλάζει πρόσημο σε άλλο σημείο εκτός του τότε
η έχει το ίδιο πρόσημο στο
Αλλά επειδή
είναι
εχουμε λοιπόν Ατοπο.
Αρα αλλάζει πρόσημο σε τουλάχιστον ένα ακόμα σημείο του .
Αρα έχει τουλάχιστον δύο ρίζες.
Να σημειώσω ότι αν και
πληρούνται οι προυποθέσεις και η έχει ακριβώς δύο ρίζες στο
Επειδή στο και
η αλλάζει πρόσημο σε ένα τουλάχιστον σημείο του ή η είναι μηδενική.
Στην δεύτερη περίπτωση το ζητούμενο είναι προφανές.
Έστω ότι η αλλάζει πρόσημο στο οπότε
Έχουμε ότι η είναι θετική στο και αρνητική στο
Αν η δεν αλλάζει πρόσημο σε άλλο σημείο εκτός του τότε
η έχει το ίδιο πρόσημο στο
Αλλά επειδή
είναι
εχουμε λοιπόν Ατοπο.
Αρα αλλάζει πρόσημο σε τουλάχιστον ένα ακόμα σημείο του .
Αρα έχει τουλάχιστον δύο ρίζες.
Να σημειώσω ότι αν και
πληρούνται οι προυποθέσεις και η έχει ακριβώς δύο ρίζες στο
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες