Από Ολοκληρώματα ρίζες

Συντονιστής: R BORIS

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2345
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Από Ολοκληρώματα ρίζες

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Σεπ 24, 2018 9:46 pm

Εστω 0< a\leq \pi

Η f:[0,a]\rightarrow \mathbb{R} είναι συνεχής συνάρτηση ώστε

\int_{0}^{a}f(x)\sin xdx=0=\int_{0}^{a}f(x)\cos xdx



Να δειχθεί ότι η εξίσωση f(x)=0

έχει τουλάχιστον δύο ρίζες στο (0,a)



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2159
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Από Ολοκληρώματα ρίζες

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Τετ Σεπ 26, 2018 6:40 pm

εστω \displaystyle{ a<\pi /4} στο \displaystyle{(0,a)} θα ισχύει \displaystyle{cosx>sinx} [1]

Αν η \displaystyle{f} είχε μια ρίζα μόνον \displaystyle{r} στο \displaystyle{(0,a)} τοτε ενα από τα 4 παρακατω μπορεί να συμβαίνει
\displaystyle{f(x)>0 , x\in (0,a)} [a]
\displaystyle{f(x)<0 , x\in (0,a)}[β]
\displaystyle{f(x)>0 , x\in (0,r)} kαι \displaystyle{f(x)<0 , x\in (r,a)}[c]
\displaystyle{f(x)<0 , x\in (0,r)} kαι \displaystyle{f(x)>0 , x\in (r,a)} [d]

άρα

\displaystyle{f(x)cosx>f(x)sinx , x\in (0,a)} ολοκληρώνοντας καταλήγουμε \displaystyle{0>0} άτοπο

ομοίως και στην περίπτωση[β]

\displaystyle{f(x)cosx>f(x)sinx , f(x)cosx>-f(x)sinx} ολοκληρώνοντας από \displaystyle{0} ως \displaystyle{r} και απο \displaystyle{r} ως \displaystyle{a} τότε αν προσθέσουμε κατα μέλη προκύπτει \displaystyle{0>0=\int_{0}^{a}{f(x)(sinx-cosx)dx}}

ομοίως και στην περίπτωση [d]

ανάλογα αν \displaystyle{\pi /4<a<\pi /2}
και ομοίως όταν \displaystyle{\pi /2<a<\pi }


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2345
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Από Ολοκληρώματα ρίζες

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Σεπ 27, 2018 9:13 am

R BORIS έγραψε:
Τετ Σεπ 26, 2018 6:40 pm
εστω \displaystyle{ a<\pi /4} στο \displaystyle{(0,a)} θα ισχύει \displaystyle{cosx>sinx} [1]

Αν η \displaystyle{f} είχε μια ρίζα μόνον \displaystyle{r} στο \displaystyle{(0,a)} τοτε ενα από τα 4 παρακατω μπορεί να συμβαίνει
\displaystyle{f(x)>0 , x\in (0,a)} [a]
\displaystyle{f(x)<0 , x\in (0,a)}[β]
\displaystyle{f(x)>0 , x\in (0,r)} kαι \displaystyle{f(x)<0 , x\in (r,a)}[c]
\displaystyle{f(x)<0 , x\in (0,r)} kαι \displaystyle{f(x)>0 , x\in (r,a)} [d]

άρα

\displaystyle{f(x)cosx>f(x)sinx , x\in (0,a)} ολοκληρώνοντας καταλήγουμε \displaystyle{0>0} άτοπο

ομοίως και στην περίπτωση[β]

\displaystyle{f(x)cosx>f(x)sinx , f(x)cosx>-f(x)sinx} ολοκληρώνοντας από \displaystyle{0} ως \displaystyle{r} και απο \displaystyle{r} ως \displaystyle{a} τότε αν προσθέσουμε κατα μέλη προκύπτει \displaystyle{0>0=\int_{0}^{a}{f(x)(sinx-cosx)dx}}

ομοίως και στην περίπτωση [d]

ανάλογα αν \displaystyle{\pi /4<a<\pi /2} όπου \displaystyle{sinx>cosx>0}
και ομοίως όταν \displaystyle{\pi /2<a<\pi }
Δεν βλέπω γιατί

ανάλογα αν \displaystyle{\pi /4<a<\pi /2} όπου \displaystyle{sinx>cosx>0}
και ομοίως όταν \displaystyle{\pi /2<a<\pi }


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2159
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Από Ολοκληρώματα ρίζες

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Πέμ Σεπ 27, 2018 10:23 am

Ναι έχεις δίκιο Σταυρο απλα παρέλειψε το


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2345
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Από Ολοκληρώματα ρίζες

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Σεπ 28, 2018 10:39 pm

Επαναφορά για τις άλλες περιπτώσεις.
Η άσκηση λύνεται και χωρίς να πάρουμε περιπτώσεις για το a.


dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1393
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Από Ολοκληρώματα ρίζες

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Σάβ Σεπ 29, 2018 12:11 am

Υπάρχει κατάλληλο x_0 τέτοιο ώστε το \sin (x + x_0) να διατηρεί πρόσημο στο [0,a]. Αφού ισχύει \displaystyle \int_0^a f(x) \sin (x+x_0) \mathrm{d} x = 0, η f αλλάζει πρόσημο στο (0,a) (αλλιώς το ολοκλήρωμα θα ήταν μη μηδενικό ή η f μηδενική).

Έστω ότι η f αλλάζει πρόσημο στο r \in (0,a). Πάλι μπορούμε να διαλέξουμε x_0 έτσι ώστε \sin (r + x_0) = 0, οπότε η \sin (x + x_0) διατηρεί πρόσημο στο (0,r), αλλάζοντάς το στο (r,a) (αφού a \leqslant \pi). Το γεγονός ότι πάλι \displaystyle \int_0^a f(x) \sin (x+x_0) \mathrm{d} x = 0 μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι η συνεχής f δεν μπορεί να διατηρεί πρόσημο και στα δύο διαστήματα (0,r), (r,a) (γιατί το γινόμενο θα διατηρούσε πρόσημο σε όλο το (0,a) - \{ r \}) και έτσι έπεται η ύπαρξη ακόμα μίας ρίζας στο (0,a).


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2345
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Από Ολοκληρώματα ρίζες

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Σεπ 30, 2018 10:53 am

Γράφω στην ουσία την λύση του Δημήτρη πιο αναλυτικά.
Επειδή \sin x>0 στο (0,a) και

\displaystyle \int_0^a f(x) \sin x \mathrm{d} x = 0

η f αλλάζει πρόσημο σε ένα τουλάχιστον σημείο του (0,a) ή η f είναι μηδενική.
Στην δεύτερη περίπτωση το ζητούμενο είναι προφανές.

Έστω ότι η f αλλάζει πρόσημο στο r \in (0,a) οπότε f(r)=0

Έχουμε ότι η \sin (x-r) είναι θετική στο (r,a) και αρνητική στο (0,r)

Αν η f δεν αλλάζει πρόσημο σε άλλο σημείο εκτός του r τότε

η f(x)\sin (x-r) έχει το ίδιο πρόσημο στο (0,a) - \{ r \}

Αλλά επειδή \sin (x-r)=\sin x\cos r-\cos x\sin r

είναι \displaystyle \int_0^a f(x) \sin (x-r) \mathrm{d} x = 0

εχουμε λοιπόν Ατοπο.

Αρα αλλάζει πρόσημο σε τουλάχιστον ένα ακόμα σημείο του (0,a) .
Αρα έχει τουλάχιστον δύο ρίζες.

Να σημειώσω ότι αν a=\pi και f(x)=\sin 3x
πληρούνται οι προυποθέσεις και η f(x)=0 έχει ακριβώς δύο ρίζες στο (0,\pi)


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης