Ολοκλήρωμα συνάρτησης

Συντονιστής: R BORIS

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4007
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Ολοκλήρωμα συνάρτησης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Ιούλ 04, 2018 4:49 pm

Δίδεται η συνάρτηση f:[1, 4] \rightarrow \mathbb{R} με

\displaystyle{f(x) = \frac{f \left( 2\sqrt{x} - 1 \right)}{\sqrt{x}} + \frac{\ln x}{x}}
Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα \mathcal{J} = \bigintsss_3^4 f(x) \, \mathrm{d}x.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2813
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Ολοκλήρωμα συνάρτησης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Πέμ Ιούλ 05, 2018 8:42 am

Θεωρώντας ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [1,4] , ολοκληρώνουμε τη δοσμένη σχέση στο [1,4] έχουμε:
\displaystyle{\displaystyle{\int_1^4f(x)dx = \int_1^4\frac{f \left( 2\sqrt{x} - 1 \right)}{\sqrt{x}}dx + \int_1^4\frac{\ln x}{x}dx \Leftrightarrow}}

\displaystyle{\displaystyle{\Leftrightarrow \int_1^4f(x)dx = \int_1^3f(u)du +\left[ \frac{ln^2x}{2} \right]_1^4 \Leftrightarrow}}

\displaystyle{\displaystyle{\Leftrightarrow \int_1^4f(x)dx - \int_1^3f(u)du =\frac{ln^24}{2} \Leftrightarrow}}

\displaystyle{\displaystyle{\Leftrightarrow \int_3^4f(x)dx  =2ln^22 ,}}

αφού για το \displaystyle{ \int_1^4\frac{f \left( 2\sqrt{x} - 1 \right)}{\sqrt{x}}dx} έχουμε θέσει u=2\sqrt{x}-1,
οπότε \displaystyle{du=\frac{1}{\sqrt{x}}dx}.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες