Σταθερότητα ;

Συντονιστής: R BORIS

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9640
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Σταθερότητα ;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Μάιος 15, 2018 8:49 pm

Σταθερότητα ;.png
Σταθερότητα ;.png (11.74 KiB) Προβλήθηκε 182 φορές
Τα σημεία A',B' κινούνται στον άξονα x'x με την μεταξύ τους απόσταση να παραμένει

σταθερή ( εν προκειμένω 4 ). Οι κάθετες στα σημεία αυτά προς τον άξονα x'x τέμνουν

την παραβολή με εξίσωση y=ax^2 ( εν προκειμένω την \dfrac{x^2}{4} ) , στα σημεία A,B .

Οι εφαπτόμενες της καμπύλης στα σημεία αυτά τέμνονται στο σημείο S .

Εξετάστε αν το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την καμπύλη

και τις δύο εφαπτόμενες , παραμένει σταθερό . Γενικεύστε ...



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1327
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Σταθερότητα ;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Τετ Μάιος 16, 2018 10:05 am

Έστω \displaystyle f(x)=a{{x}^{2}},a>0 με \displaystyle {f}'(x)=2ax.
Οι εφαπτόμενες στα \displaystyle A(b,f(b)),\,\,B(b+k,f(b+k)) έχουν εξισώσεις :
\displaystyle y-f(b)={f}'(b)(x-b)\Leftrightarrow y={f}'(b)x+f(b)-b{f}'(b)\Leftrightarrow y=2abx+a{{b}^{2}}-2a{{b}^{2}}\Leftrightarrow y=2abx-a{{b}^{2}}
και
\displaystyle \begin{array}{l} 
y - f(b + k) = f'(b + k)(x - b - k) \Leftrightarrow y = f'(b + k)x + f(b + k) - f'(b + k)(b + k) \Leftrightarrow \\ 
\\ 
 \Leftrightarrow y = 2a(b + k)x + a{(b + k)^2} - 2a{(b + k)^2} \Leftrightarrow y = 2a(b + k)x - a{(b + k)^2} 
\end{array}

Λύνοντας το σύστημα των εξισώσεών τους βρίσκουμε το σημείο τομής
\displaystyle C\left( \frac{2b+k}{2},a{{b}^{2}}+abk \right)
Το άθροισμα των εμβαδών των δύο τραπεζίων είναι \displaystyle {{E}_{1}}+{{E}_{2}}=\frac{3ka{{(2b+k)}^{2}}}{12}
Το εμβαδόν κάτω από τη γραφική παράσταση είναι \displaystyle {{E}_{3}}=\int_{b}^{b+k}{a{{x}^{2}}dx=...=\frac{4ka(3{{b}^{2}}+3bk+{{k}^{2}})}{12}}
Η διαφορά των δύο είναι \displaystyle E={{E}_{3}}-({{E}_{1}}+{{E}_{2}})=\frac{4ka(3{{b}^{2}}+3bk+{{k}^{2}})}{12}-\frac{3ka{{(2b+k)}^{2}}}{12}=\frac{{{k}^{3}}a}{12} ,
το οποίο είναι ανεξάρτητο του \displaystyle b
Στο παράδειγμα είναι \displaystyle k=2,a=\frac{1}{4} , οπότε \displaystyle E=\frac{1}{6}


Kαλαθάκης Γιώργης
mixtzo
Δημοσιεύσεις: 10
Εγγραφή: Τρί Μάιος 25, 2010 3:15 pm

Re: Σταθερότητα ;

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mixtzo » Τετ Μάιος 16, 2018 4:11 pm

Επειδή η Γεωμετρία των κωνικών είναι γοητευτική, ας τα δούμε με Ευκλείδεια...

Πρόταση: Θεωρούμε την παραβολή εστίας Ε και κορυφής Α. Οι εφαπτόμενες στα άκρα της χορδής ΔΗ τέμνονται στο Σ και ισχύει:
  1. Το Σ ανήκει στη διάμετρο της παραβολής στο Γ (πρόταση XIV, σελ. 50, στο [1])
  2. ΣΓ = ΓΖ (πρόταση XV, σελ. 51 στο [1])
  3.  {\Delta\Delta}_1^2=4\cdot AE\cdot \Gamma Z  (πόρισμα, σελ. 53, στο [1])
  4. Για το εμβαδόν του παραβολικού χωρίου ΔΓΑΗΔ και το εμβαδόν του τριγώνου ΔΓΗ, ισχύει: Εμβ(ΔΓΑΗΔ)=\frac{4}{3}Εμβ(ΔΓΗ) (στο [2])
parabola.jpg
parabola.jpg (26.77 KiB) Προβλήθηκε 103 φορές
[1] https://archive.org/stream/geometricalconic00smitrich
[2] https://en.wikipedia.org/wiki/The_Quadr ... e_Parabola

Στο πρόβλημά μας τώρα. Αν Δ' και Η' οι προβολές των Δ και Η στη διευθετούσα, με Δ'H' = 2h σταθερό, από το τρίτο της πρότασης προκύπτει ότι το ΓΖ είναι σταθερό, οπότε σταθερό θα είναι το εμβαδόν του τριγώνου ΔΓΗ. Έτσι το ζητούμενο εμβαδό θα είναι \frac{2}{3}(\Delta \Gamma H).
Παράλληλα απαντήσαμε και στο https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=53&t=61797 .


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης