Λογαριθμικό ολοκλήρωμα

Tolaso J Kos · #1

Έστω $f(x) = \sqrt{x} \ln x \; , \; x>0$ . Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{1}^{e^2} \frac{f(x)}{x} \, \mathrm{d}x}$

Λάμπρος Κατσάπας · #2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 14, 2018 11:59 am
Έστω $f(x) = \sqrt{x} \ln x \; , \; x>0$ . Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{1}^{e^2} \frac{f(x)}{x} \, \mathrm{d}x}$

$\int_{1}^{e^2} \frac{f(x)}{x} dx=\int_{1}^{e^2} \frac{\sqrt{x}}{x} lnxdx=\int_{1}^{e^2} \frac{1}{\sqrt{x}} lnxdx$ (1)

Θέτουμε $u=\sqrt{x}$ και παίρνουμε

$(1)=2\int_{1}^{e} ln(u^2)du =4\int_{1}^{e} lnudu=4\int_{1}^{e} {u}'lnudu=4\left ( [ ulnu]_{1}^{e}\right-\int_{1}^{e}1du )=4(e-(e-1))=4.$

Ratio · #3

Νομίζω ότι ο πιο σύντομος τρόπος είναι η αντικατάσταση

Θέτουμε $\sqrt(x)=u$ με $x=u^{2}$

$\int_{1}^{e^2}\frac{f(x)}{x}=\int_{1}^{e^2}\frac{lnx}{\sqrt(x)}$

$lnx=lnu^{2}=2lnu$

$\frac{dx}{\sqrt(x)}=2du$

και τα άκρα αλλάζουν από $x=1 \rightarrow u=1$ και $x=e^{2}\rightarrow u=e$

οπότε το ολοκλήρωμα είναι ως εξής:

$\int_{1}^{e}4lnudu=4[ulnu-u]_{1}^{e}=4(elne-e+1)=4$

Tolaso J Kos · #4

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 14, 2018 11:59 am
Έστω $f(x) = \sqrt{x} \ln x \; , \; x>0$ . Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{1}^{e^2} \frac{f(x)}{x} \, \mathrm{d}x}$

Μία διαφορετική αντιμετώπιση:

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{1}^{e^2} \frac{\sqrt{x} \ln x}{x} \, \mathrm{d}x &= \int_{1}^{e^2} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} \, \mathrm{d}x \\ &= \left [ 2 \sqrt{x} \ln x \right ]_1{e^2} - 2\int_{1}^{e^2} \frac{\sqrt{x}}{x} \, \mathrm{d}x \\ &= 2 \sqrt{e^2} \ln e^2 - 2 \int_{1}^{e^2} \frac{1}{\sqrt{x}} \, \mathrm{d}x\\ &= 4e - 2 \left [ 2 \sqrt{x} \right ]_1^{e^2} \\ &= \cancel{4e - 4e} + 4 \\ &= 4 \end{aligned}}$

Λογαριθμικό ολοκλήρωμα

Λογαριθμικό ολοκλήρωμα

Re: Λογαριθμικό ολοκλήρωμα

Re: Λογαριθμικό ολοκλήρωμα

Re: Λογαριθμικό ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση