Ανισότητα για ολοκλήρωμα

Λάμπρος Κατσάπας · #1

Για κάθε συνάρτηση

παραγωγίσιμη στο [0,1]

με $|{f}'(x)| \leq 1$ για κάθε $x\in (0,1)$ να δείξετε ότι ισχύει:

$\left | \frac{f(0)+f(\frac{1}{3})+f(\frac{2}{3})}{3}-\int_{0}^{1}f(x)dx \right | \leq \frac{1}{6} .$
Να ερμηνευτεί γεωμετρικά το αποτέλεσμα.

#2

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Τετ Απρ 04, 2018 8:29 am
Για κάθε συνάρτηση παραγωγίσιμη στο με $|{f}'(x)| \leq 1$ για κάθε $x\in (0,1)$ να δείξετε ότι ισχύει:

$\left | \frac{f(0)+f(\frac{1}{3})+f(\frac{2}{3})}{3}-\int_{0}^{1}f(x)dx \right | \leq \frac{1}{6} .$
Να ερμηνευτεί γεωμετρικά το αποτέλεσμα.

...μια γρήγορη αντιμετώπιση...

Είναι $|{f}'(x)|\le 1\Leftrightarrow -1\le {f}'(x)\le 1$ οπότε ${f}'(x)\le 1\,\,\,x\in (0,\,1)$ (1)και ${f}'(x)\ge -1,\,\,\,x\in (0,\,1)$ (2)

οπότε σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ $x\in (0,\,1)$ υπάρχουν ${{x}_{1}}\in (0,\,x),\,\,{{x}_{2}}\in (0,\,x)$ ώστε

${f}'({{x}_{1}})=\frac{f(x)-f(0)}{x}\le 1\Leftrightarrow f(x)\le x+f(0)$ και ${f}'({{x}_{2}})=\frac{f(x)-f(0)}{x}\ge -1\Leftrightarrow f(x)\ge -x+f(0)$

δηλαδή ισχύει $-x+f(0)\le f(x)\le x+f(0),\,\,x\in (0,\,1)$ με την ισότητες να ισχύουν για $x=0,\,\,x=1$ απ όπου

$-\frac{1}{3}+f(0)\le f(\frac{1}{3})\le \frac{1}{3}+f(0)$ και $-\frac{2}{3}+f(0)\le f(\frac{2}{3})\le \frac{2}{3}+f(0)$

και με πρόσθεση κατά μέλη προκύπτει ότι

$-1+2f(0)\le f(\frac{1}{3})+f(\frac{2}{3})\le 1+2f(0)\Leftrightarrow -1+3f(0)\le f(\frac{1}{3})+f(\frac{2}{3})+f(0)\le 1+3f(0)$

επομένως $-\frac{1}{3}+f(0)\le \frac{f(\frac{1}{3})+f(\frac{2}{3})+f(0)}{2}\le \frac{1}{3}+f(0)$ (1)

Τώρα ολοκληρώνοντας την $-x+f(0)\le f(x)\le x+f(0),\,\,x\in [0,\,1]$ προκύπτει ότι

$-\int\limits_{0}^{1}{xdx}+f(0)\int\limits_{0}^{1}{dx}\le \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}\le \int\limits_{0}^{1}{xdx}+f(0)\int\limits_{0}^{1}{dx}$ ισοδύναμα

$-\frac{1}{2}+f(0)\le \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}\le \frac{1}{2}+f(0)\Leftrightarrow -\frac{1}{2}-f(0)\le -\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}\le \frac{1}{2}-f(0)$ (2)

και με πρόσθεση κατά μέλη των (1),(2) έχουμε

$=-\frac{5}{6}=-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\le \frac{f(0)+f(\frac{1}{3})+f(\frac{2}{3})}{3}-\int_{0}^{1}{f}(x)dx\le \frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}$

ίσως κάποιο λάθος στις πράξεις θα δείξει…. Τώρα μάθημα….

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Λάμπρος Κατσάπας · #3

Για να κλείσει.

$\left | \frac{f(0)+f(\frac{1}{3})+f(\frac{2}{3})}{3}-\int_{0}^{1}f(x)dx \right | =\left | \frac{f(0)}{3}-\int_{0}^{\frac{1}{3}}f(x)dx + \frac{f(\frac{1}{3})}{3}-\int_{\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}}f(x)dx +\frac{f(\frac{2}{3})}{3}-\int_{\frac{2}{3}}^{1}f(x)dx\right | = \left |\int_{0}^{\frac{1}{3}}f(0)-f(x)dx + \int_{\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}}f(\frac{1}{3})-f(x)dx +\int_{\frac{2}{3}}^{1}f(\frac{2}{3})-f(x)dx\right | \leq \int_{0}^{\frac{1}{3}}|f(0)-f(x)|dx + \int_{\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}}|f(\frac{1}{3})-f(x)|dx +\int_{\frac{2}{3}}^{1}|f(\frac{2}{3})-f(x)|dx$

Από το ΘΜΤ για κάθε $x\in(0,\frac{1}{3})$ υπάρχει $\xi \in(0,x)$ τέτοιο, ώστε

${f}'(\xi)=\frac{f(x)-f(0)}{x}\Rightarrow f(x)-f(0)={f}'(\xi)x\Rightarrow |f(x)-f(0)|=|{f}'(\xi)|x\leq x$ .

Όμοια για κάθε $x\in(\frac{1}{3},\frac{2}{3})$ υπάρχει $\xi \in(\frac{1}{3},x)$ τέτοιο, ώστε

${f}'(\xi)=\frac{f(x)-f(\frac{1}{3})}{x-\frac{1}{3}}\Rightarrow f(x)-f(\frac{1}{3}})={f}'(\xi)(x-\frac{1}{3})\Rightarrow |f(x)-f(\frac{1}{3}})|=|{f}'(\xi)|(x-\frac{1}{3})\leq x-\frac{1}{3}$ .

Τέλος για κάθε $x\in(\frac{2}{3},1)$ υπάρχει $\xi \in(\frac{2}{3},x)$ τέτοιο, ώστε

${f}'(\xi)=\frac{f(x)-f(\frac{2}{3})}{x-\frac{2}{3}}\Rightarrow f(x)-f(\frac{2}{3}})={f}'(\xi)(x-\frac{2}{3})\Rightarrow |f(x)-f(\frac{2}{3}})|=|{f}'(\xi)|(x-\frac{2}{3})\leq x-\frac{2}{3}$ .

Άρα

$\int_{0}^{\frac{1}{3}}|f(0)-f(x)|dx + \int_{\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}}|f(\frac{1}{3})-f(x)|dx +\int_{\frac{2}{3}}^{1}|f(\frac{2}{3})-f(x)|dx \leq \int_{0}^{\frac{1}{3}}xdx + \int_{\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}}x-\frac{1}{3}dx +\int_{\frac{2}{3}}^{1}x-\frac{2}{3}dx=\frac{1}{6} .$

Για πιο προχωρημένα πράγματα (εκτός Λυκείου) δείτε εδώ: https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=61&t=61438 εδώ: https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=9&t=61445 εδώ: https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=9&t=61448 και εδώ: https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=9&t=61440

Christos.N · #4

Νομίζω μένει η γεωμετρική ερμηνεία.

Λάμπρος Κατσάπας · #5

: New Picture ΕΡΜΗΝΕΙΑ.JPG (89.6 KiB) Προβλήθηκε 881 φορές

Ανισότητα για ολοκλήρωμα

Ανισότητα για ολοκλήρωμα

Re: Ανισότητα για ολοκλήρωμα

Re: Ανισότητα για ολοκλήρωμα

Re: Ανισότητα για ολοκλήρωμα

Re: Ανισότητα για ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση