Ανισότητα για ολοκλήρωμα

Συντονιστής: R BORIS

Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 726
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Ανισότητα για ολοκλήρωμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Τετ Απρ 04, 2018 8:29 am

Για κάθε συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο [0,1] με |{f}'(x)| \leq 1 για κάθε x\in (0,1)

να δείξετε ότι ισχύει:

\left | \frac{f(0)+f(\frac{1}{3})+f(\frac{2}{3})}{3}-\int_{0}^{1}f(x)dx \right | \leq \frac{1}{6} .
Να ερμηνευτεί γεωμετρικά το αποτέλεσμα.



Λέξεις Κλειδιά:
KAKABASBASILEIOS
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1548
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Ανισότητα για ολοκλήρωμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Τετ Απρ 04, 2018 12:49 pm

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Τετ Απρ 04, 2018 8:29 am
Για κάθε συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο [0,1] με |{f}'(x)| \leq 1 για κάθε x\in (0,1) 
 
να δείξετε ότι ισχύει:

\left | \frac{f(0)+f(\frac{1}{3})+f(\frac{2}{3})}{3}-\int_{0}^{1}f(x)dx \right | \leq \frac{1}{6} .
Να ερμηνευτεί γεωμετρικά το αποτέλεσμα.
...μια γρήγορη αντιμετώπιση...

Είναι |{f}'(x)|\le 1\Leftrightarrow -1\le {f}'(x)\le 1 οπότε {f}'(x)\le 1\,\,\,x\in (0,\,1) (1)και {f}'(x)\ge -1,\,\,\,x\in (0,\,1)(2)

οπότε σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ x\in (0,\,1) υπάρχουν {{x}_{1}}\in (0,\,x),\,\,{{x}_{2}}\in (0,\,x) ώστε

{f}'({{x}_{1}})=\frac{f(x)-f(0)}{x}\le 1\Leftrightarrow f(x)\le x+f(0) και {f}'({{x}_{2}})=\frac{f(x)-f(0)}{x}\ge -1\Leftrightarrow f(x)\ge -x+f(0)

δηλαδή ισχύει -x+f(0)\le f(x)\le x+f(0),\,\,x\in (0,\,1) με την ισότητες να ισχύουν για x=0,\,\,x=1 απ όπου

-\frac{1}{3}+f(0)\le f(\frac{1}{3})\le \frac{1}{3}+f(0) και -\frac{2}{3}+f(0)\le f(\frac{2}{3})\le \frac{2}{3}+f(0)

και με πρόσθεση κατά μέλη προκύπτει ότι

-1+2f(0)\le f(\frac{1}{3})+f(\frac{2}{3})\le 1+2f(0)\Leftrightarrow -1+3f(0)\le f(\frac{1}{3})+f(\frac{2}{3})+f(0)\le 1+3f(0)

επομένως -\frac{1}{3}+f(0)\le \frac{f(\frac{1}{3})+f(\frac{2}{3})+f(0)}{2}\le \frac{1}{3}+f(0) (1)

Τώρα ολοκληρώνοντας την -x+f(0)\le f(x)\le x+f(0),\,\,x\in [0,\,1] προκύπτει ότι

-\int\limits_{0}^{1}{xdx}+f(0)\int\limits_{0}^{1}{dx}\le \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}\le \int\limits_{0}^{1}{xdx}+f(0)\int\limits_{0}^{1}{dx} ισοδύναμα

-\frac{1}{2}+f(0)\le \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}\le \frac{1}{2}+f(0)\Leftrightarrow -\frac{1}{2}-f(0)\le -\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}\le \frac{1}{2}-f(0) (2)

και με πρόσθεση κατά μέλη των (1),(2) έχουμε

=-\frac{5}{6}=-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\le \frac{f(0)+f(\frac{1}{3})+f(\frac{2}{3})}{3}-\int_{0}^{1}{f}(x)dx\le \frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}

ίσως κάποιο λάθος στις πράξεις θα δείξει…. Τώρα μάθημα….

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 726
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ανισότητα για ολοκλήρωμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Παρ Απρ 06, 2018 11:42 pm

Για να κλείσει.

\left | \frac{f(0)+f(\frac{1}{3})+f(\frac{2}{3})}{3}-\int_{0}^{1}f(x)dx  \right |

=\left | \frac{f(0)}{3}-\int_{0}^{\frac{1}{3}}f(x)dx +  \frac{f(\frac{1}{3})}{3}-\int_{\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}}f(x)dx +\frac{f(\frac{2}{3})}{3}-\int_{\frac{2}{3}}^{1}f(x)dx\right |

= \left |\int_{0}^{\frac{1}{3}}f(0)-f(x)dx +  \int_{\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}}f(\frac{1}{3})-f(x)dx +\int_{\frac{2}{3}}^{1}f(\frac{2}{3})-f(x)dx\right |

\leq \int_{0}^{\frac{1}{3}}|f(0)-f(x)|dx +  \int_{\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}}|f(\frac{1}{3})-f(x)|dx +\int_{\frac{2}{3}}^{1}|f(\frac{2}{3})-f(x)|dx

Από το ΘΜΤ για κάθε x\in(0,\frac{1}{3}) υπάρχει \xi \in(0,x) τέτοιο, ώστε

{f}'(\xi)=\frac{f(x)-f(0)}{x}\Rightarrow f(x)-f(0)={f}'(\xi)x\Rightarrow |f(x)-f(0)|=|{f}'(\xi)|x\leq x.

Όμοια για κάθε x\in(\frac{1}{3},\frac{2}{3}) υπάρχει \xi \in(\frac{1}{3},x) τέτοιο, ώστε

{f}'(\xi)=\frac{f(x)-f(\frac{1}{3})}{x-\frac{1}{3}}\Rightarrow f(x)-f(\frac{1}{3}})={f}'(\xi)(x-\frac{1}{3})\Rightarrow |f(x)-f(\frac{1}{3}})|=|{f}'(\xi)|(x-\frac{1}{3})\leq x-\frac{1}{3}.

Τέλος για κάθε x\in(\frac{2}{3},1) υπάρχει \xi \in(\frac{2}{3},x) τέτοιο, ώστε

{f}'(\xi)=\frac{f(x)-f(\frac{2}{3})}{x-\frac{2}{3}}\Rightarrow f(x)-f(\frac{2}{3}})={f}'(\xi)(x-\frac{2}{3})\Rightarrow |f(x)-f(\frac{2}{3}})|=|{f}'(\xi)|(x-\frac{2}{3})\leq x-\frac{2}{3}.

Άρα

\int_{0}^{\frac{1}{3}}|f(0)-f(x)|dx +  \int_{\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}}|f(\frac{1}{3})-f(x)|dx +\int_{\frac{2}{3}}^{1}|f(\frac{2}{3})-f(x)|dx 

\leq \int_{0}^{\frac{1}{3}}xdx +  \int_{\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}}x-\frac{1}{3}dx +\int_{\frac{2}{3}}^{1}x-\frac{2}{3}dx=\frac{1}{6} .

Για πιο προχωρημένα πράγματα (εκτός Λυκείου) δείτε εδώ: https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=61&t=61438 εδώ: https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=9&t=61445 εδώ: https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=9&t=61448 και εδώ: https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=9&t=61440


Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1860
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Ανισότητα για ολοκλήρωμα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Σάβ Απρ 07, 2018 8:51 am

Νομίζω μένει η γεωμετρική ερμηνεία.


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 726
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ανισότητα για ολοκλήρωμα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Σάβ Απρ 07, 2018 11:50 am

New Picture ΕΡΜΗΝΕΙΑ.JPG
New Picture ΕΡΜΗΝΕΙΑ.JPG (89.6 KiB) Προβλήθηκε 541 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης