Σφιχτή ανισότητα σε ολοκλήρωμα

Ιστοσελίδα · #1

Δε θυμάμαι αν την έχουμε ξαναδεί. Μου έκανε εντύπωση πόσο «σφιχτή» είναι:

Να αποδειχθεί ότι : $\int\limits_0^{\frac{\pi}{4}} e^{x^2} dx < 1$

Νομίζω ότι δεν μπορεί να γίνει καλύτερη = με μικρότερο φράγμα.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

polysot έγραψε: ↑
Τρί Απρ 03, 2018 5:39 pm
Δε θυμάμαι αν την έχουμε ξαναδεί. Μου έκανε εντύπωση πόσο «σφιχτή» είναι:

Να αποδειχθεί ότι : $\int\limits_0^{\frac{\pi}{4}} e^{x^2} dx < 1$

Νομίζω ότι δεν μπορεί να γίνει καλύτερη = με μικρότερο φράγμα.

Το ολοκλήρωμα μπορούμε να το υπολογίσουμε με όση ακρίβεια θέλουμε.

Στο συγκεκριμένο.

Εχουμε ότι $x\in [0,1]\Rightarrow e^{x}\leq 1+x+\frac{x^{2}}{2}+e\frac{x^{3}}{6}$

Η απόδειξη γίνεται είτε με Taylor είτε θεωρώντας την συνάρτηση και παραγωγίζοντας τρεις φορές.

θέτοντας όπου

το $x^{2}$ και ολοκληρώνοντας βγάζουμε ότι

$\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}e^{x^{2}}dx\leq \frac{\pi }{4}+\frac{1}{3}(\frac{\pi }{4})^{3}+\frac{1}{10}(\frac{\pi }{4})^{5}+e\frac{1}{42}(\frac{\pi }{4})^{7}$

χρησιμοποιώντας ότι $\frac{\pi }{4}\leq 0,7854,e\leq 2,72$

και κάνοντας τις πράξεις βρίσκουμε ότι το ολοκλήρωμα είναι μικρότερο από 0,9988

συμπλήρωμα.Διόρθωσα τυπογραφικό.Ευχαριστώ τον Γιώργη (exdx) για την επισήμανση του.

Ιστοσελίδα · #3

Χωρίς Taylor όμως; Με τα σχολικά;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

polysot έγραψε: ↑
Τρί Απρ 03, 2018 9:09 pm
Χωρίς Taylor όμως; Με τα σχολικά;

Να το γράψω με σχολικά.Με ακροβατικό βέβαια.

Τα οποία βέβαια είναι συνηθισμένο φαινόμενο.(τα ακροβατικά)

Θέτουμε $f(x)=e^{x}-1-x-\frac{x^{2}}{2}-e\frac{x^{3}}{6}$

Είναι

$f'(x)=e^{x}-1-x-e\frac{x^{2}}{2},f''(x)=e^{x}-1-ex,f'''(x)=e^{x}-e$

και f(0)=f'(0)=f''(0)=0

Επίσης $x\in [0,1]\Rightarrow f'''(x)=e^{x}-e\leq 0$

Με επιχειρήματα μονοτονίας προκύπτει ότι

$x\in [0,1]\Rightarrow f(x)\leq 0$

από όπου προκύπτει το ζητούμενο(βλέπε παραπάνω)

Να σημειώσω το εξής.Με σχολικά μαθηματικά μπορούν να αποδειχθούν παπάδες.(δηλαδή πολύ βαρεία θεωρήματα)
Γιατί τελικά όλα τα Μαθηματικά βασίζονται σε στοιχειώδη εκ πρώτης όψεως πράγματα.
Φυσικά αυτό το ολοκλήρωμα δεν είναι για σχολικά Μαθηματικά,καθώς και πολλά άλλα που εμφανίζονται στο

και αλλού.

Πχ οι ανισότητες στο https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 77#p271477
δίνουν την καλύτερη σταθερά στην ανισότητα του M.Riesz για την συζηγή συνάρτηση.Αποδεικνύονται με σχολική ύλη.
Δεν σημαίνει ότι είναι σχολικά Μαθηματικά.

Λάμπρος Κατσάπας · #5

polysot έγραψε: ↑
Τρί Απρ 03, 2018 5:39 pm
Δε θυμάμαι αν την έχουμε ξαναδεί. Μου έκανε εντύπωση πόσο «σφιχτή» είναι:

Να αποδειχθεί ότι : $\int\limits_0^{\frac{\pi}{4}} e^{x^2} dx < 1$

Νομίζω ότι δεν μπορεί να γίνει καλύτερη = με μικρότερο φράγμα.

Αν θεωρήσουμε $f(x)=e^{x^2}$ αποδεικνύουμε (σχολικά) ότι

$\left | \frac{\pi }{4n}\sum_{i=0}^{n-1}f(\frac{i\pi }{4n})-\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}f(x)dx \right |\leq \sum_{i=0}^{n-1}{f}'(\frac{(i+1)\pi }{4n}) \int_{\frac{i\pi }{4n}}^{\frac{(i+1)\pi }{4n}}\left ( x-\frac{i\pi }{4n} \right ) dx$

Έτσι παίρνουμε πάνω και κάτω φράγματα. Για n=6

το άνω φράγμα έχει πέσει κάτω από το

Την απόδειξη της παραπάνω την αφήνω ως άσκηση για όποιον ενδιαφέρεται.

dement · #6

Μπορούμε επίσης να επωφεληθούμε από την κυρτότητα της $e^{x^2}$ και να χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα του τραπεζίου με διαχωρισμό στα τρία (το φράγμα από την τμηματικά γραμμική συνάρτηση μπορεί να αποδειχθεί σχολικά).

Έτσι $\displaystyle \int_0^{\pi/4} e^{x^2} \mathrm{d}x < \frac{\pi}{24} \left( 1 + 2 \mathrm{e}^{\pi^2/144} + 2 \mathrm{e}^{\pi^2/36} + \mathrm{e}^{\pi^2/16} \right) = 0.9982...$ .

Ιστοσελίδα · #7

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Απρ 03, 2018 10:27 pm

polysot έγραψε: ↑
Τρί Απρ 03, 2018 9:09 pm
Χωρίς Taylor όμως; Με τα σχολικά;
Να το γράψω με σχολικά.Με ακροβατικό βέβαια.

Τα οποία βέβαια είναι συνηθισμένο φαινόμενο.(τα ακροβατικά)

Θέτουμε $f(x)=e^{x}-1-x-\frac{x^{2}}{2}-e\frac{x^{3}}{6}$

Είναι

$f'(x)=e^{x}-1-x-e\frac{x^{2}}{2},f''(x)=e^{x}-1-ex,f'''(x)=e^{x}-e$

και

Επίσης $x\in [0,1]\Rightarrow f'''(x)=e^{x}-e\leq 0$

Με επιχειρήματα μονοτονίας προκύπτει ότι

$x\in [0,1]\Rightarrow f(x)\leq 0$

από όπου προκύπτει το ζητούμενο(βλέπε παραπάνω)

Να σημειώσω το εξής.Με σχολικά μαθηματικά μπορούν να αποδειχθούν παπάδες.(δηλαδή πολύ βαρεία θεωρήματα)
Γιατί τελικά όλα τα Μαθηματικά βασίζονται σε στοιχειώδη εκ πρώτης όψεως πράγματα.
Φυσικά αυτό το ολοκλήρωμα δεν είναι για σχολικά Μαθηματικά,καθώς και πολλά άλλα που εμφανίζονται στο και αλλού.

Πχ οι ανισότητες στο https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 77#p271477
δίνουν την καλύτερη σταθερά στην ανισότητα του M.Riesz για την συζηγή συνάρτηση.Αποδεικνύονται με σχολική ύλη.
Δεν σημαίνει ότι είναι σχολικά Μαθηματικά.

Σταύρο προφανώς και έτσι δουλεύει!
ΟΜΩΣ, πώς θα εξηγήσεις που στο καλό βρέθηκε αυτή η συνάρτηση σε μαθητή Γ΄λυκείου. Πώς την υποψιάστηκες τη συνάρτηση χωρίς άλλα ερωτήματα; Κατάλαβες τι θέλω να πω πιστεύω!

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #8

polysot έγραψε: ↑
Τρί Απρ 03, 2018 11:11 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Απρ 03, 2018 10:27 pm

polysot έγραψε: ↑
Τρί Απρ 03, 2018 9:09 pm
Χωρίς Taylor όμως; Με τα σχολικά;
Να το γράψω με σχολικά.Με ακροβατικό βέβαια.

Τα οποία βέβαια είναι συνηθισμένο φαινόμενο.(τα ακροβατικά)

Θέτουμε $f(x)=e^{x}-1-x-\frac{x^{2}}{2}-e\frac{x^{3}}{6}$

Είναι

$f'(x)=e^{x}-1-x-e\frac{x^{2}}{2},f''(x)=e^{x}-1-ex,f'''(x)=e^{x}-e$

και

Επίσης $x\in [0,1]\Rightarrow f'''(x)=e^{x}-e\leq 0$

Με επιχειρήματα μονοτονίας προκύπτει ότι

$x\in [0,1]\Rightarrow f(x)\leq 0$

από όπου προκύπτει το ζητούμενο(βλέπε παραπάνω)

Να σημειώσω το εξής.Με σχολικά μαθηματικά μπορούν να αποδειχθούν παπάδες.(δηλαδή πολύ βαρεία θεωρήματα)
Γιατί τελικά όλα τα Μαθηματικά βασίζονται σε στοιχειώδη εκ πρώτης όψεως πράγματα.
Φυσικά αυτό το ολοκλήρωμα δεν είναι για σχολικά Μαθηματικά,καθώς και πολλά άλλα που εμφανίζονται στο και αλλού.

Πχ οι ανισότητες στο https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 77#p271477
δίνουν την καλύτερη σταθερά στην ανισότητα του M.Riesz για την συζηγή συνάρτηση.Αποδεικνύονται με σχολική ύλη.
Δεν σημαίνει ότι είναι σχολικά Μαθηματικά.
Σταύρο προφανώς και έτσι δουλεύει!
ΟΜΩΣ, πώς θα εξηγήσεις που στο καλό βρέθηκε αυτή η συνάρτηση σε μαθητή Γ΄λυκείου. Πώς την υποψιάστηκες τη συνάρτηση χωρίς άλλα ερωτήματα; Κατάλαβες τι θέλω να πω πιστεύω!

Σωτήρη μια χαρά καταλαβαίνω.Αν και πολλές φορές κάνω πως δεν καταλαβαίνω.
Η απάντηση στο ''πώς θα εξηγήσεις που στο καλό βρέθηκε αυτή η συνάρτηση σε μαθητή Γ΄λυκείου'' για μένα είναι απλή.
Σε κάποιους θα πω ,αφήστε το, μάθετε τα βασικά και μετά ελάτε να σας την εξηγήσω και σε κάποιους θα τους εξηγήσω ότι αυτά θα τα μάθουν στο Πανεπιστήμιο και σε όποιον έχει διάθεση θα του αποδείξω τον Taylor (την ειδική περίπτωση που η παράγωγος στο υπόλοιπο είναι συνεχής).
Πάντως η αίσθηση μου είναι ότι σε σχέση με άλλα που κυκλοφορούν αυτή η συνάρτηση είναι ''φυσιολογική''
Και σε κάθε περίπτωση έχω γράψει παραπάνω
''Φυσικά αυτό το ολοκλήρωμα δεν είναι για σχολικά Μαθηματικά,καθώς και πολλά άλλα που εμφανίζονται στο

και αλλού.''

Ιστοσελίδα · #9

Μου εμφανίστηκε και το «υπόλοιπο » του ερωτήματος:

Δίνεται η συνάρτηση $f(x) = (1 + \tan^2(x))e^{-x^2}, x \in [0,\frac{\pi}{2})$ .
Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και την κυρτότητα.
Να αποδειχθεί ότι $\displaystyle \int_0^{\pi/4} e^{x^2} \mathrm{d}x < 1$ .

Μελετώντας την

ως προς τη μονοτονία έχουμε :
$f'(x) = -2 \frac{x\cos(x) - \sin(x)}{e^{x^2} \cos^3 (x)}$

Ισχύει ότι $f'(x) >0 , \forall x \in (0,\frac{\pi}{2})$ .

Συνεπώς, για $0< x < \frac{\pi}{4} \Rightarrow f(0) < f(x) < f(\frac{\pi}{4}) .$

Οπότε: $f(0) < f(x), \forall x\in (0, \pi/4)$ .

Τώρα είναι: $1 < (1 + \tan^2 (x) )e^{-x^2} \Rightarrow e^{x^2} < 1 + \tan^2 (x) = \frac{1}{\cos^2 (x)} \Rightarrow$
$\displaystyle \int_0^{\pi/4} e^{x^2} \mathrm{d}x < \int_0^{\pi/4} \frac{1}{\cos^2 (x)} \mathrm{d}x = \tan(\frac{\pi}{4}) - \tan(0) = 1$ .

Διόρθωσα τυπογραφικό αντιγραφής στην παράγωγο. Ευχαριστώ Σταύρο για την επισήμανση!

KARKAR · #10

: σφικτό.png (17.29 KiB) Προβλήθηκε 1367 φορές

Εντυπωσιακή "ανακάλυψη" ! Ερώτημα : Θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε

τη συνάρτηση : $h(x)=1+tan^2x-e^{x^2}$ ;

Σφιχτή ανισότητα σε ολοκλήρωμα

Σφιχτή ανισότητα σε ολοκλήρωμα

Re: Σφιχτή ανισότητα σε ολοκλήρωμα

Re: Σφιχτή ανισότητα σε ολοκλήρωμα

Re: Σφιχτή ανισότητα σε ολοκλήρωμα

Re: Σφιχτή ανισότητα σε ολοκλήρωμα

Re: Σφιχτή ανισότητα σε ολοκλήρωμα

Re: Σφιχτή ανισότητα σε ολοκλήρωμα

Re: Σφιχτή ανισότητα σε ολοκλήρωμα

Re: Σφιχτή ανισότητα σε ολοκλήρωμα

Re: Σφιχτή ανισότητα σε ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση