Ένα εμβαδόν

Συντονιστής: R BORIS

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1373
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Ένα εμβαδόν

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Κυρ Απρ 01, 2018 11:50 pm

Καλησπέρα :logo: και καλό μήνα

Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle f με τύπο \displaystyle f(x)=\sqrt{4x-{{x}^{2}}}.
Α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης ευθείας της \displaystyle {{C}_{f}} που διέρχεται από το σημείο \displaystyle A(6,0).
Β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη \displaystyle {{C}_{f}}, την εφαπτομένη και τον άξονα \displaystyle {x}'x.


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1474
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Ένα εμβαδόν

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Δευ Απρ 02, 2018 1:44 am

exdx έγραψε:
Κυρ Απρ 01, 2018 11:50 pm
Καλησπέρα :logo: και καλό μήνα

Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle f με τύπο \displaystyle f(x)=\sqrt{4x-{{x}^{2}}}.
Α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης ευθείας της \displaystyle {{C}_{f}} που διέρχεται από το σημείο \displaystyle A(6,0).
Β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη \displaystyle {{C}_{f}}, την εφαπτομένη και τον άξονα \displaystyle {x}'x.
...μιά αντιμετώπιση στη χάρη της γεωμετρίας!!!

Α) Η συνάρτηση \displaystyle f(x)=\sqrt{4x-{{x}^{2}}} ορίζεται όταν 4x-{{x}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow 0\le x\le 4

και είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα στο διάστημα (0,\,4)με {f}'(x)=\frac{4-2x}{2\sqrt{4x-{{x}^{2}}}}=\frac{2-x}{\sqrt{4x-{{x}^{2}}}}

και η εφαπτομένη της σε σημείο με τετμημένη {{x}_{0}}\in (0,\,4) είναι y-f({{x}_{0}})={f}'({{x}_{0}})(x-{{x}_{0}})

και για να περνάει από το \displaystyle A(6,0) πρέπει να ισχύει

0-f({{x}_{0}})={f}'({{x}_{0}})(6-{{x}_{0}})\Leftrightarrow -\sqrt{4{{x}_{0}}-x_{0}^{2}}=\frac{2-{{x}_{0}}}{\sqrt{4{{x}_{0}}-x_{0}^{2}}}(6-{{x}_{0}})\Leftrightarrow

-{{\sqrt{4{{x}_{0}}-x_{0}^{2}}}^{2}}=(2-{{x}_{0}})(6-{{x}_{0}})\Leftrightarrow -4{{x}_{0}}+x_{0}^{2}=12-8{{x}_{0}}+x_{0}^{2}\Leftrightarrow

4{{x}_{0}}=12\Leftrightarrow {{x}_{0}}=3. Επομένως η εφαπτομένη που περνάει από το σημείο \displaystyle A(6,0) έχει αναλυτική εξίσωση

y-f(3)={f}'(3)(x-3)\Leftrightarrow y-\sqrt{3}=-\frac{1}{\sqrt{3}}(x-3)\Leftrightarrow y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+2\sqrt{3}


01042018 ΕΝΑ ΕΜΒΑΔΟ.jpg
01042018 ΕΝΑ ΕΜΒΑΔΟ.jpg (20.2 KiB) Προβλήθηκε 305 φορές


Β) Από την ισότητα y=f(x)=\sqrt{4x-{{x}^{2}}},\,\,\,x\in [0,\,4],\,\,y\ge 0 έχουμε ότι

{{y}^{2}}=4x-{{x}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+4+{{y}^{2}}=4\Leftrightarrow {{(x-2)}^{2}}+{{y}^{2}}=4

που σημαίνει ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f είναι το ημικύκλιο πάνω από τον {x}'x του κύκλου κέντρου K(2,0) ακτίνας

\rho =2, η εφαπτομένη είναι πάνω από την {{C}_{f}} και όπως φαίνεται και στο σχήμα το ζητούμενο εμβαδό είναι το σκιασμένο μέρος

που είναι το εμβαδό του ορθογωνίου τριγώνου KMA που είναι {{E}_{KMA}}=\frac{1}{2}\beta \upsilon =\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 3=9 μείον το

εμβαδό του κυκλικού τομέα KM\Delta που είναι {{E}_{\overset\frown{KM\Delta }}}=\frac{\pi {{\rho }^{2}}}{6}=\frac{\pi {{4}^{2}}}{6}=\frac{8\pi }{3} γιατί η

K\Delta διάμεσος στο ορθογώνιο τρίγωνο KMA είναι KM=\frac{1}{2}KA=2=\rho άρα

KM\Delta τρίγωνο ισόπλευρο και άρα γωνία \widehat{MK\Delta }=\frac{\pi }{3} επομένως ο κυκλικός τομέας είναι το \frac{1}{6} του κύκλου.

Έτσι το ζητούμενο εμβαδό είναι E=9-\frac{8\pi }{3}=\frac{27-8\pi }{3}

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Ratio
Δημοσιεύσεις: 154
Εγγραφή: Παρ Σεπ 09, 2016 8:59 am

Re: Ένα εμβαδόν

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ratio » Τετ Μάιος 16, 2018 11:14 am

KAKABASBASILEIOS έγραψε:
Δευ Απρ 02, 2018 1:44 am
exdx έγραψε:
Κυρ Απρ 01, 2018 11:50 pm
Καλησπέρα :logo: και καλό μήνα

Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle f με τύπο \displaystyle f(x)=\sqrt{4x-{{x}^{2}}}.
Α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης ευθείας της \displaystyle {{C}_{f}} που διέρχεται από το σημείο \displaystyle A(6,0).
Β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη \displaystyle {{C}_{f}}, την εφαπτομένη και τον άξονα \displaystyle {x}'x.


Θέλει διόρθωση η ακτίνα στο εμβαδό του κυκλικού τομέα : είναι  4 και όχι  4^{2} , άρα ο κυκλικός τομέας έχει εμβαδό \frac{2\pi}{3}



Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης