Ανισότητα με ολοκλήρωμα

Συντονιστής: R BORIS

Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 883
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Ανισότητα με ολοκλήρωμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Τετ Αύγ 09, 2017 2:34 pm

Έστω η παραγωγίσιμη και κοίλη συνάρτηση f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}, για την οποία ισχύουν f(1)=-1, f(2)=2, f(3)=-3.

Να αποδείξετε ότι υπάρχουν \alpha ,\beta ,\gamma \in \mathbb{R} με \alpha <\gamma <\beta τέτοια ώστε:
\displaystyle{\int_{1}^{3}f(x)\textup{d}x<\frac{2}{3}\Big (f'(\alpha )\left ( 2-\alpha  \right )+f'(\beta )\left ( 2-\beta  \right )+f(\gamma )\Big )} Φιλικά,
Μάριος


Υ.Γ. Θα μπορούσαμε να χαλαρώσουμε τη συνθήκη της παραγωγισιμότητας;


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham

Λέξεις Κλειδιά:
KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1508
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Ανισότητα με ολοκλήρωμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Τετ Αύγ 09, 2017 5:49 pm

M.S.Vovos έγραψε:
Υ.Γ. Θα μπορούσαμε να χαλαρώσουμε τη συνθήκη της παραγωγισιμότητας;
...φυσικά και μπορούμε αφού είναι κοίλη....

...Μετά την πρατήρηση του Σταύρου σε παρακάτω post δεν γίνεται προφανώς να χαλαρώσουμε την παραγωγισιμότητα και
συμφωνώ ότι το θέμα είναι αρκετά απαιτητικό για μαθητές...


Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης
τελευταία επεξεργασία από KAKABASBASILEIOS σε Πέμ Αύγ 10, 2017 1:53 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1508
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Ανισότητα με ολοκλήρωμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Πέμ Αύγ 10, 2017 1:07 pm

M.S.Vovos έγραψε:Έστω η παραγωγίσιμη και κοίλη συνάρτηση f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}, για την οποία ισχύουν f(1)=-1, f(2)=2, f(3)=-3.

Να αποδείξετε ότι υπάρχουν \alpha ,\beta ,\gamma \in \mathbb{R} με \alpha <\gamma <\beta τέτοια ώστε:
\displaystyle{\int_{1}^{3}f(x)\textup{d}x<\frac{2}{3}\Big (f'(\alpha )\left ( 2-\alpha  \right )+f'(\beta )\left ( 2-\beta  \right )+f(\gamma )\Big )} Φιλικά,
Μάριος


Υ.Γ. Θα μπορούσαμε να χαλαρώσουμε τη συνθήκη της παραγωγισιμότητας;
...μια προσπάθεια...

Από την υπόθεση έχουμε ότι f(1)=-1, f(2)=2 δηλαδή f(1)f(2)=-2<0, και f(2)=2, f(2)f(3)=-6<0

επομένως σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano υπάρχουν \alpha \in (1,\,\,2),\,\,\beta \in (2,\,\,3) ώστε

f(\alpha )=f(\beta )=0και οι εφαπτόμενες στα σημεία (\alpha ,\,f(a)),\,\,\,(\beta ,\,f(\beta )) είναι αντίστοιχα

y-f(a)={f}'(\alpha )(x-\alpha ),\,\,\,y-f(\beta )={f}'(\beta )(x-\beta ) ή

y={f}'(\alpha )(x-\alpha ),\,\,\,y={f}'(\beta )(x-\beta )

και επειδή η f είναι κοίλη θα είναι πάνω από την {{C}_{f}} επομένως θα ισχύουν

f(x)\le {f}'(\alpha )(x-\alpha ),\,\,\,f(x)\le {f}'(\beta )(x-\beta ),\,\,\,x\in R με τις ισότητες να ισχύουν μόνο για τα σημεία επαφής.

Τώρα ολοκληρώνοντας τις ανισότητες θα έχουμε

\int\limits_{1}^{3}{f(x)dx}<\int\limits_{1}^{3}{{f}'(\alpha )(x-\alpha )dx},\int\limits_{1}^{3}{f(x)dx}<\int\limits_{1}^{3}{{f}'(\alpha )(x-\alpha )dx} ή

\int\limits_{1}^{3}{f(x)dx}<{f}'(a)\left[ \frac{{{x}^{2}}}{2}-ax \right]_{1}^{3}\,,\,\,\int\limits_{1}^{3}{f(x)dx}<{f}'(\beta )\left[ \frac{{{x}^{2}}}{2}-\beta x \right]_{1}^{3}\, ή

\int\limits_{1}^{3}{f(x)dx}<{f}'(a)(4-2\alpha )\,\,,\,\int\limits_{1}^{3}{f(x)dx}<{f}'(\beta )(4-2\beta ) ή

\int\limits_{1}^{3}{f(x)dx}<2{f}'(a)(2-\alpha )\,,\,\int\limits_{1}^{3}{f(x)dx}<2{f}'(\beta )(2-\beta )

Επίσης σύμφωνα με το θεώρημα μεγίστης και ελάχιστης τιμής στο διάστημα [1,\,\,3] η f θα παίρνει μέγιστη τιμή σε σημείο

\gamma \in (\alpha ,\,\,\beta ) αφού f(\alpha )=f(\beta )=0 και f(2)=2>0 οπότε θα ισχύει f(x)\le f(\gamma ),\,\,x\in [1,\,\,3]

και ολοκληρώνοντας θα ισχύει \int\limits_{1}^{3}{f(x)dx}\le \int\limits_{1}^{3}{f(\gamma )dx}\Leftrightarrow \int\limits_{1}^{3}{f(x)dx}\le 2f(\gamma )

και με πρόσθεση κατά μέλη των ανισοτήτων προκύπτει ότι

3\int\limits_{1}^{3}{f(x)dx}<2{f}'(a)(2-\alpha )+2{f}'(\beta )(2-\beta )+2f(\gamma ) ή

\int\limits_{1}^{3}{f}(x)dx<\frac{2}{3}({f}'(\alpha )\left( 2-\alpha  \right)+{f}'(\beta )\left( 2-\beta  \right)+f(\gamma ))

που είναι αυτό που θέλαμε.

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2619
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ανισότητα με ολοκλήρωμα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Αύγ 10, 2017 1:18 pm

M.S.Vovos έγραψε:Έστω η παραγωγίσιμη και κοίλη συνάρτηση f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}, για την οποία ισχύουν f(1)=-1, f(2)=2, f(3)=-3.

Να αποδείξετε ότι υπάρχουν \alpha ,\beta ,\gamma \in \mathbb{R} με \alpha <\gamma <\beta τέτοια ώστε:
\displaystyle{\int_{1}^{3}f(x)\textup{d}x<\frac{2}{3}\Big (f'(\alpha )\left ( 2-\alpha  \right )+f'(\beta )\left ( 2-\beta  \right )+f(\gamma )\Big )} Φιλικά,
Μάριος


Υ.Γ. Θα μπορούσαμε να χαλαρώσουμε τη συνθήκη της παραγωγισιμότητας;
Πως θα μπορούσαμε να χαλαρώσουμε την παραγωγισιμότητα αφού στο δεξί μέλος εμφανίζεται παράγωγος;
Τι θα βάζαμε στην θέση των παραγώγων;

Μερικές παρατηρήσεις για την άσκηση.

1)Ο φάκελος δεν είναι ο κατάλληλος. Τουλάχιστον κατά την γνώμη μου η άσκηση δεν είναι για μαθητές με αυτή την διατύπωση.Ισως προσθέτοντας ερωτήματα θα μπορούσε να γίνει.

2)Στην λύση που έχω δεν χρειάζεται το \gamma.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2619
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ανισότητα με ολοκλήρωμα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Αύγ 10, 2017 6:28 pm

Η άσκηση είναι για ........

Αν στην λύση του Βασίλη ολοκληρώσουμε την πρώτη σχέση στο [1,2] και την δεύτερη στο [2,3]
τότε με λίγες πράξεις βγαίνει χωρίς να χρησιμοποιήθει το \gamma

Δεν γράφω τις λεπτομέρειες γιατί

το \frac{2}{3} μπορεί να αντικατασταθεί από οποιονδήποτε θετικό.

Τα \alpha ,\gamma μπορούμε να τα πάρουμε όποια θέλουμε.

Πράγματι.
Από ΘΜΤ υπάρχει k με k\in (2,3)\wedge f'(k)=\dfrac{f(3)-f(2)}{3-2}=-5

Αφου η f είναι κοίλη θα έχουμε x\geq 3\Rightarrow f'(x)\leq -5

Ετσι x\geq 3\Rightarrow f'(x)(2-x)\geq 5(x-2) (1)

Αφού βάλουμε στην θέση του \frac{2}{3} όποιο θετικό θέλουμε διαλέξουμε τα \alpha ,\gamma

όποια μας αρέσουν λόγω της (1) μπορούμε να πάρουμε \beta ώστε να ισχύει.



Μάριε από που είναι η άσκηση;


Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 883
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Re: Ανισότητα με ολοκλήρωμα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Πέμ Αύγ 10, 2017 8:25 pm

Ευχαριστώ πολύ για τη συμμετοχή και τους δύο.

Η άσκηση Σταυρό είναι δικιά μου κατασκευή. Είναι από το φυλλάδιο που σου είχα στείλει.

Φιλικά.


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες