Με αφορμή το Γ4_2017

Grosrouvre · #1

Να αποδείξετε ότι
$\displaystyle{\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{sinx}{x} dx < \frac{\sqrt{2}}{2}}$

#2

Grosrouvre έγραψε:Να αποδείξετε ότι
$\displaystyle{\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{sinx}{x} dx < \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Είναι

$\displaystyle{\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{sinx}{x} dx\leq \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{x} dx=\ln 2<0,7<\dfrac{\sqrt{2}}{2}.}$

Για την $\ln 2<0,7$ δείτε, π.χ. εδώ.

Φιλικά,

Αχιλλέας

#3

Αλλιώς. Έστω $\displaystyle{f(x) = \frac{{\sin x}}{x},x \in \left[ {\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}} \right]}.$ Είναι $\displaystyle{f'(x) = \frac{{x\cos x - \sin x}}{{{x^2}}}}$

Θέτω $\displaystyle{g(x) = x\cos x - \sin x,}$ και είναι $\displaystyle{g'(x) = - x\sin x < 0}$ άρα η

είναι γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle{\left[ {\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}} \right]}$

απ' όπου εύκολα προκύπτει ότι g(x)<0

στο ίδιο διάστημα, οπότε και η

είναι γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle{\left[ {\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}} \right]}$

$\displaystyle{\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {f(x)dx < \int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {f(\frac{\pi }{4})dx} } \Rightarrow \int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin x}}{x}dx} < \sin \frac{\pi }{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}}$

#4

Η $\displaystyle{ \ln 2<\dfrac{\sqrt{2}}{2}}$ προκύπτει και από την $\displaystyle{\sqrt{x}\ln x \leq x-1,}$ για $x\geq 1.$

Με αφορμή το Γ4_2017

Με αφορμή το Γ4_2017

Re: Με αφορμή το Γ4_2017

Re: Με αφορμή το Γ4_2017

Re: Με αφορμή το Γ4_2017

Μέλη σε σύνδεση