Σελίδα 1 από 1
Υπαρξιακή
Δημοσιεύτηκε: Τετ Απρ 19, 2017 11:02 am
από erxmer
Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση
και
μια αρχική της
ώστε
.
1) Να βρεθούν οι τιμές
2) H
τέμνει τον άξονα
σε τουλάχιστον ένα σημείο
3) Yπάρχουν
ώστε
Re: Υπαρξιακή
Δημοσιεύτηκε: Τετ Απρ 19, 2017 11:42 am
από Tolaso J Kos
erxmer έγραψε:Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση
και
μια αρχική της
ώστε
.
1) Να βρεθούν οι τιμές
2) H
τέμνει τον άξονα
σε τουλάχιστον ένα σημείο
3) Yπάρχουν
ώστε
Εφόσον η
είναι αρχική της συνεχούς συνάρτησης
αυτό σημαίνει πως είναι παραγωγίσιμη στο
με
για κάθε
. Παραγωγίζοντας την αρχική σχέση έχουμε:
Θέτουμε
στη σχέση
συνεπώς έχουμε
ή
. Επίσης στη σχέση
θέτουμε ξανά
και τελικά παίρνουμε
.
(β) Η
είναι συνεχής στο διάστημα
και ισχύει ότι
. Άρα από το θεώρημα Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένα
τέτοιο ώστε
. Δηλαδή η
τέμνει τον άξονα
σε τουλάχιστον ένα σημείο.
(γ) Η
είναι συνεχής στα διαστήματα
και
και παραγωγίσιμη στα
και
. Από το Θεώρημα Μέσης Τιμής έχουμε πως υπάρχει ένα
τέτοιο ώστε
και όμοια υπάρχει
τέτοιο ώστε
Τότε
δηλ. το ζητούμενο.