Aριθμητική

Συντονιστής: R BORIS

Άβαταρ μέλους
erxmer
Δημοσιεύσεις: 1615
Εγγραφή: Δευ Σεπ 13, 2010 7:49 pm
Επικοινωνία:

Aριθμητική

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από erxmer » Κυρ Μαρ 05, 2017 4:04 pm

Δίνεται η συνάρτηση f: R \to R ώστε \displaystyle{\int_{0}^{2}\left ( \int_{0}^{1}f(x)ydy \right )dz=\int_{0}^{1}\left ( 3t^2x^3+6tx-1 \right )dt}.

1) Nα βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης

2) Να αποδειχθεί οτι είναι 1-1

3) Να αποδειχθεί οτι η εξίσωση f(x)=ln^2x έχει μοναδική λύση

4) Nα υπολογιστεί το \displaystyle{\int_{a}^{b}f^{-1}(x)dx} με a,b \in R κατάλληλα άκρα.

5) Nα υπολογιστεί το \displaystyle{\int_{-1}^{3}\left ( f^{-1}(x) \right )^{10}dx+10\int_{0}^{1}x^{9}f(x)dx}

6) Να υπολογιστούν τα όρια \displaystyle{\lim_{x \to +\infty}\left ( f(x) \right )^{lnx}} και \displaystyle{\lim_{x \to +\infty}\left ( \sqrt{x+1}+\sqrt{x-1} \right )^{f(x)}}
τελευταία επεξεργασία από erxmer σε Κυρ Μαρ 05, 2017 9:58 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ratio
Δημοσιεύσεις: 256
Εγγραφή: Παρ Σεπ 09, 2016 8:59 am

Re: Aριθμητική

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ratio » Κυρ Μαρ 05, 2017 5:53 pm

Μήπως πρέπει να ελεχθούν τα ορια της ολοκλήρωσης στο (3) ;


KAKABASBASILEIOS
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1552
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Aριθμητική

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Δευ Μαρ 06, 2017 1:24 am

erxmer έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση f: R \to R ώστε \displaystyle{\int_{0}^{2}\left ( \int_{0}^{1}f(x)ydy \right )dz=\int_{0}^{1}\left ( 3t^2x^3+6tx-1 \right )dt}.

1) Nα βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης

2) Να αποδειχθεί οτι είναι 1-1

3) Να αποδειχθεί οτι η εξίσωση f(x)=ln^2x έχει μοναδική λύση

4) Nα υπολογιστεί το \displaystyle{\int_{a}^{b}f^{-1}(x)dx} με a,b \in R κατάλληλα άκρα.

5) Nα υπολογιστεί το \displaystyle{\int_{-1}^{3}\left ( f^{-1}(x) \right )^{10}dx+10\int_{0}^{1}x^{9}f(x)dx}

6) Να υπολογιστούν τα όρια \displaystyle{\lim_{x \to +\infty}\left ( f(x) \right )^{lnx}} και \displaystyle{\lim_{x \to +\infty}\left ( \sqrt{x+1}+\sqrt{x-1} \right )^{f(x)}}
...μια αντιμετώπιση...

1) Από \displaystyle{\int_{0}^{2}\left ( \int_{0}^{1}f(x)ydy \right )dz=\int_{0}^{1}\left ( 3t^2x^3+6tx-1 \right )dt} έχουμε ισοδύναμα

\int\limits_{0}^{2}{\left( f(x)\int\limits_{0}^{1}{ydy} \right)}dz=\left[ {{x}^{3}}{{t}^{3}}+3{{t}^{2}}x-t \right]_{0}^{1}\Leftrightarrow f(x)\int\limits_{0}^{1}{ydy}\int\limits_{0}^{2}{dz}={{x}^{3}}+3x-1\Leftrightarrow

f(x)\left[ \frac{{{y}^{2}}}{2} \right]_{0}^{1}\left[ z \right]_{0}^{2}={{x}^{3}}+3x-1\Leftrightarrow f(x)\cdot \frac{1}{2}\cdot 2={{x}^{3}}+3x-1\Leftrightarrow f(x)={{x}^{3}}+3x-1

2) Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο R με {f}'(x)=3{{x}^{2}}+3>0 είναι γνήσια αύξουσα άρα και '1-1'.

3) Η εξίσωση f(x)=l{{n}^{2}}x\Leftrightarrow {{x}^{3}}+3x-1-{{\ln }^{2}}x=0 οπότε για την συνάρτηση g(x)={{x}^{3}}+3x-1-{{\ln }^{2}}x,\,\,\,x>0

που είναι συνεχής ως πράξεις μεταξύ συνεχών ισχύουν ότι g(1)=3>0 και

\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,g(x)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,({{x}^{3}}+3x-1-{{\ln }^{2}}x)=-\infty

αφού \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,({{\ln }^{2}}x)=+\infty οπότε υπάρχει a>0 με g(a)<0 επομένως g(a)g(1)<0

και σύμφωνα με το Θ. Β. υπάρχει {{x}_{0}}\in (a,\,\,1) με g({{x}_{0}})=0.

Τώρα η g είναι παραγωγίσιμη με {g}'(x)=3{{x}^{2}}+3-2\frac{\ln x}{x}=\frac{3{{x}^{3}}+3x-2\ln x}{x},\,\,\,\,x>0 και η

h(x)=3{{x}^{3}}+3x-2\ln x αν έχει ρίζα κάποιο {{x}_{1}}>0 τότε θα είναι είναι

3x_{1}^{3}+3{{x}_{1}}-2\ln {{x}_{1}}=0\Leftrightarrow 3x_{1}^{3}+3{{x}_{1}}=2\ln {{x}_{1}}\le 2({{x}_{1}}-1)(από γνωστή εφαρμογή)

επομένως θα ισχύει ότι 3x_{1}^{3}+3{{x}_{1}}\le 2({{x}_{1}}-1)\Leftrightarrow 3x_{1}^{3}+{{x}_{1}}+2\le 0 που είναι άτοπο αφού

{{x}_{1}}>0 άρα h(x)\ne 0 και επειδή είναι συνεχής θα έχει σταθερό πρόσημο, και αφού h(1)=6>0 είναι h(x)>0

επομένως η {g}'(x)=\frac{h(x)}{x}>0,\,\,\,\,x>0 άρα η g γνήσια αύξουσα άρα και '1-1' οπότε {{x}_{0}}\in (a,\,\,1)

μοναδική ρίζα της g.

4)( …εδώ πρέπει απαραίτητα να δοθεί η συνέχεια της {{f}^{-1}} για το [a,\,\,\beta ]) και με δεδομένο αυτό αν

u={{f}^{-1}}(x)\Leftrightarrow f(u)=x και {f}'(u)du=dx και x=a\to u={{f}^{-1}}(\alpha ),\,\,\,x=\beta \to u={{f}^{-1}}(\beta )

και \int\limits_{a}^{b}{{{f}^{-1}}}(x)dx=\int\limits_{{{f}^{-1}}(a)}^{{{f}^{-1}}(\beta )}{u{f}'(u)du}=\left[ uf(u) \right]_{{{f}^{-1}}(a)}^{{{f}^{-1}}(\beta )}-\int\limits_{{{f}^{-1}}(a)}^{{{f}^{-1}}(\beta )}{f(u)du}=

=\beta {{f}^{-1}}(\beta )-\alpha {{f}^{-1}}(\beta )-\int\limits_{{{f}^{-1}}(a)}^{{{f}^{-1}}(\beta )}{f(u)du}

5) Για το \int\limits_{-1}^{3}{{{\left( {{f}^{-1}}(x) \right)}^{10}}}dx με u={{f}^{-1}}(x)\Leftrightarrow f(u)=x και {f}'(u)du=dx και

x=-1\to u=0,\,\,\,x=3\to u=1 και \int\limits_{-1}^{5}{{{\left( {{f}^{-1}}(x) \right)}^{10}}}dx=\int\limits_{0}^{1}{{{\left( u \right)}^{10}}}{f}'(u)du=\left[ {{u}^{10}}f(u) \right]_{0}^{1}-10\int\limits_{0}^{1}{{{u}^{9}}}f(u)du\Leftrightarrow

\int\limits_{-1}^{5}{{{\left( {{f}^{-1}}(x) \right)}^{10}}}dx+10\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{9}}}f(x)dx=\left[ {{u}^{10}}f(u) \right]_{0}^{1}=f(1)=3

...τώρα :sleeping: :sleeping:

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3307
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Aριθμητική

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Μαρ 06, 2017 10:01 am

Για το 6) που άφησε ο Βασίλης.

Γενικότερα αν \lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=\infty και

\lim_{x\rightarrow \infty }g(x)=\infty

τότε \lim_{x\rightarrow \infty }f(x)^{g(x)}=\infty


Επειδή e^{x}\geq 1+x> x(προκύπτει άμεσα από την lnx\leq x-1 που έχει το σχολικό)


Εχουμε f(x)^{g(x)}=e^{g(x)lnf(x)}> g(x)lnf(x) (1)

Αφου \lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=\infty και \lim_{x\rightarrow \infty }lnf(x)=\infty

(θέσε u=f(x))

Η (1) παίρνοντας όρια δίνει το ζητούμενο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης