ΘΜΤ και όριο παραγουσών

Συντονιστής: R BORIS

evitakron
Δημοσιεύσεις: 17
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 18, 2015 12:34 pm

ΘΜΤ και όριο παραγουσών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από evitakron » Δευ Ιαν 16, 2017 10:21 pm

Καλησπέρα! Σε ερώτηση μαθητή για τον υπολογισμό του ορίου \lim_ {x\rightarrow +\infty} (F(x+1)-F(x)) όπου f(x)=\frac{x+1}{^{\sqrt{x^2+1}}}, βρίσκοντας \xi \epsilon (x,x+1) με ΘΜΤ θεώρησε το f\left ( \xi \right ) ως συνάρτηση και έγραψε \lim_ {x\rightarrow +\infty} (F(x+1)-F(x))=\lim_ {\xi \rightarrow +\infty} (f(\xi))=...=1 . Ποια είναι η ενδεδειγμένη απάντηση;



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12135
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: ΘΜΤ και όριο παραγουσών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Ιαν 16, 2017 11:09 pm

Πρώτο πρόβλημα εδώ:
evitakron έγραψε:\lim_ {\xi \rightarrow +\infty} (f(\xi))=...={\color {red}1}
Η σωστή απάντηση είναι 0


evitakron
Δημοσιεύσεις: 17
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 18, 2015 12:34 pm

Re: ΘΜΤ και όριο παραγουσών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από evitakron » Τρί Ιαν 17, 2017 11:34 am

Ναι, σωστά κ. Λάμπρου το όριο είναι 0.. Πέρα από το αποτέλεσμα όμως, ποια θα ήταν η αιτιολόγηση για να απορρίψουμε τέτοια προσέγγιση;


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12135
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: ΘΜΤ και όριο παραγουσών

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Ιαν 17, 2017 1:18 pm

evitakron έγραψε:ποια θα ήταν η αιτιολόγηση για να απορρίψουμε τέτοια προσέγγιση;
Δεν είναι εσφαλμένη η προσέγγιση για να την απορρίψουμε. Απλά δεν είναι ο καλύτερος τρόπος και ίσως κάποιο βήμα θα ήθελε περισσότερη αιτιολόγιση.

Συγκεκριμένα, αφού F(x) \to 1 (άμεσο) και άρα F(x+1) \to 0 (απλό), έχουμε F(x+1)- F(x) \to 1-1=0. Αυτή είναι η καλύτερη λύση.

Τώρα, για την δοθείσα λύση η περισσότερη αιτιολόγιση που χρειάζεται, είναι η εξής: Θέλουμε να μελετήσουμε το όριο \displaystyle{\lim_ {\xi \rightarrow +\infty} (f(\xi))}. Εδώ το \xi είναι συνάρτηση του x και άρα δεσμευμένο (και μπορεί να μην είναι μοναδικό), οπότε έχουμε όριο σύνθεσης συναρτήσεων.

Το σωστό λοιπόν είναι να πούμε. Εξετάζω τώρα το \displaystyle{\lim_ {x \rightarrow +\infty} (f(x))} (με x όχι \xi). Το όριο αυτό ισούται .... με 0. Από αυτό έπεται ότι και το όριο με \xi(x) υπάρχει και είναι 0. Το τελευταίο θέλει απόδειξη, και ο σωστός τρόπος είναι από τον εψιλοντικό ορισμό του ορίου. Όμως διαισθητικά είναι φανερό και ως απάντηση μαθητή (αλλά όχι φοιτητή) θα το δεχόμουν. Ο λόγος είναι ότι η έννοια του ορίου είναι έτσι και αλλιώς κάπως διαισθητική στο Σχολείο, και μάλιστα στο ίδιο επίπεδο με το παραπάνω ζητούμενο. Οπότε ο μαθητής δεν αμαρτάνει.



Edit. Διόρθωσα δευτερεύον τυπογραφικό.
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Τρί Ιαν 17, 2017 2:04 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


evitakron
Δημοσιεύσεις: 17
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 18, 2015 12:34 pm

Re: ΘΜΤ και όριο παραγουσών

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από evitakron » Τρί Ιαν 17, 2017 1:33 pm

Σας ευχαριστώ πολύ κ. Λάμπρου για την πλήρη και σαφή απάντηση.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12135
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: ΘΜΤ και όριο παραγουσών

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Ιαν 17, 2017 5:04 pm

evitakron έγραψε:Καλησπέρα! Σε ερώτηση μαθητή για τον υπολογισμό του ορίου \lim_ {x\rightarrow +\infty} (F(x+1)-F(x)) όπου f(x)=\frac{x+1}{^{\sqrt{x^2+1}}}, βρίσκοντας \xi \epsilon (x,x+1) με ΘΜΤ θεώρησε το f\left ( \xi \right ) ως συνάρτηση και έγραψε \lim_ {x\rightarrow +\infty} (F(x+1)-F(x))=\lim_ {\xi \rightarrow +\infty} (f(\xi))=...=1 . Ποια είναι η ενδεδειγμένη απάντηση;
Ούπς, από λάθος μου αντέστρεψα τους ρόλους των f και F. :oops:

Έτσι η απάντηση \lim_ {\xi \rightarrow +\infty} (f(\xi))=...={ 
\color {red} 1}

είναι σωστή (και όχι η διόρθωση που πρότεινα).

Αυτά που έγραψα περί ορίων με χρήση του \xi (x) παραμένουν σωστά, ανεξάρτητα από την αβλεψία μου.

Ευχαριστώ τον Δημήτρη Σκουτέρη (dement) και τον Σταύρο Παπαδόπουλο για την επισήμανση. Βέβαια και στους δύο, όπως και στο έτερο Δημήτρη, δεν ξεφεύγει τίποτα...


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες