Ολοκλήρωμα

Συντονιστής: R BORIS

xr.tsif
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1985
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 7:14 pm

Ολοκλήρωμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από xr.tsif » Τρί Ιούλ 14, 2015 11:39 am

Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα
I=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{cosx}{(cosx+sinx)^3}dx}


Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6260
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Ολοκλήρωμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τρί Ιούλ 14, 2015 11:57 am

xr.tsif έγραψε:Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα
I=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{cosx}{(cosx+sinx)^3}dx}
Ας είναι

\displaystyle{I=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{\cos x}{(\cos x+\sin x)^3}dx}

και

\displaystyle{J=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{\sin x}{(\cos x+\sin x)^3}dx}

Είναι

\displaystyle{I+J=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{(\sin x+\cos x)^2}dx=\Big[\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}\Big]_{0}^{\frac{\pi}{4}}=\frac{1}{2}.}

Επίσης είναι

\displaystyle{I-J=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{\cos x-\sin x}{(\sin x+\cos x)^3}dx=-\frac{1}{2}\Big[\frac{1}{(\sin x+\cos x)^2}\Big]_{0}^{\frac{\pi}{4}}=\frac{1}{4}.}

Λύνοντας το σύστημα βρίσκουμε

\displaystyle{I=\frac{3}{8}.}


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
Ch.Chortis
Δημοσιεύσεις: 264
Εγγραφή: Παρ Φεβ 10, 2012 7:02 pm
Τοποθεσία: Ελλαδιστάν

Re: Ολοκλήρωμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ch.Chortis » Τρί Ιούλ 14, 2015 5:06 pm

xr.tsif έγραψε:Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα
I=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{cosx}{(cosx+sinx)^3}dx}
Καλησπέρα. Ιδού μία τριγωνομετρική λύση
Θέτουμε y=x+\dfrac {\pi}{4} και έχουμε:
\displaystyle I=\bigints_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{cosx}{(cosx+sinx)^3}dx}=\bigints_{\frac{\pi}{4}}^{\frac {\pi}{2}} \dfrac {\cos(y-\frac {\pi}{4})} {\left (\cos(y-\frac {\pi}{4})+\sin(y-\frac {\pi}{4}) \right)^3}dy
Όμως:
\cos(y-\frac {\pi}{4})=\cos (\frac {\pi}{4}-y)=\cos \left (\frac {\pi}{2}-(y+\frac {\pi}{4}) \right)=\sin(y+\frac{\pi}{4})
και από την ταυτότητα:
\sin(a+b)=\sin a\cos b+\sin b \cos a
τελικά:
\displaystyle \bigints_{\frac{\pi}{4}}^{\frac {\pi}{2}} \dfrac {\cos(y-\frac {\pi}{4})} {\left (\cos(y-\frac {\pi}{4}))+\sin(y-\frac {\pi}{4}) \right)^3} dy=\bigints_{\frac{\pi}{4}}^{\frac {\pi}{2}} \dfrac {\sin(y+\frac {\pi}{4})} {\left (\sin(y+\frac {\pi}{4})+\sin(y-\frac {\pi}{4}) \right)^3}dy= \\ \bigints_{\frac{\pi}{4}}^{\frac {\pi}{2}} \dfrac {\sin y \cos \frac {\pi}{4}+\sin \frac{\pi}{4} \cos x} {\left (\sin y \cos \frac {\pi}{4}+\sin \frac{\pi}{4} \cos x+\sin y \cos \frac {\pi}{4}-\sin \frac {\pi}{4} \cos y \right)^3}dy= \\ \bigints_{\frac{\pi}{4}}^{\frac {\pi}{2}} \dfrac {\frac {\sqrt{2}}{2}(\sin y+\cos y)} {(\sqrt {2} \sin y)^3} dy=\dfrac {1}{4} \bigints_{\frac{\pi}{4}}^{\frac {\pi}{2}} \dfrac {\sin y+\cos y}{\sin^{3}y}dy=\\ \dfrac {1}{4} \left (\bigints_{\frac{\pi}{4}}^{\frac {\pi}{2}} \dfrac {1}{\sin^2 y}dy+\dfrac {1}{2} \bigints_{\frac{\pi}{4}}^{\frac {\pi}{2}} \dfrac {2\cos y \sin y} {\sin^4 y} dy \right)= \dfrac {1}{4} \left (\bigints_{\frac{\pi}{4}}^{\frac {\pi}{2}} (-\cot y)'dy-\dfrac {1}{2}\bigints_{\frac{\pi}{4}}^{\frac {\pi}{2}} \dfrac {-(\sin^2 y)'}{(\sin^2 y)^2}dy \right)=\\ \dfrac {1}{4} \left (\left[-\cot y \right]_{\frac {\pi}{4}}^{\frac {\pi}{2}}-\dfrac {1}{2}\bigints_{\frac{\pi}{4}}^{\frac {\pi}{2}} \left (\dfrac {1}{\sin^2 y}\right)' dy \right)=\dfrac {1}{4} \left (-0-(-1)-\dfrac {1}{2}\left [\dfrac {1}{\sin^2 y}\right]_{\frac {\pi}{4}}^{\frac {\pi}{2}}\right)=\dfrac {1}{4} \left(1-\dfrac {1}{2} (1-2) \right)=\\ \dfrac {1}{4} \left (1+\dfrac {1}{2} \right)=\dfrac {3}{8}
τελευταία επεξεργασία από Ch.Chortis σε Τρί Ιούλ 14, 2015 10:54 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


"Ο,τι δε σε σκοτώνει σε κάνει πιο δυνατό.":Φρειδερίκος Νίτσε
"Τα όρια της γλώσσας μου είναι τα όρια του κόσμου μου.":Λούντβιχ Βιτγκενστάιν
"Οι έξυπνοι άνθρωποι λύνουν προβλήματα. Οι σοφοί τα αποφεύγουν.":Άλμπερτ Αϊνστάιν
xr.tsif
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1985
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 7:14 pm

Re: Ολοκλήρωμα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από xr.tsif » Τρί Ιούλ 14, 2015 9:04 pm

μετά από τις ωραίες λύσεις του Θάνου και του Χαρίλαου να δώσω και άλλη μία

I=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{cosx}{(cosx+sinx)^3}dx}=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{cosx}{cos^3x(1+\frac{sinx}{cosx})^3}dx}=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{1}{cos^2x(1+\frac{sinx}{cosx})^3}dx}
=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{1}{cos^2x(1+tanx)^3}dx}

Αν θέσουμε t=1+tanx προκύπτει I=\frac{3}{8}.


Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης