Να αποδείξετε-3- (Προς Αποδ.)

#1

καλημέρα σας

Να δείξετε ότι για κάθε $\nu\in\mathbb{N^*}$ ισχύει : $\displaystyle{\int_0^1x^{\nu}(1-x)^{\nu}d x\leq\frac{1}{2^{2\nu}}}$

#2

Με $a=\sqrt{x}$ και $b=\sqrt{1-x}$ στην $2ab\leq a^2+b^2$ , παίρνουμε
$2\sqrt{x(1-x)}\leq x+(1-x)=1$ κι άρα, υψώνοντας στην $2\nu$

$x^{\nu}(1-x)^{\nu}\leq \frac{1}{2^{2\nu}}$ ,

οπότε
$\int_0^1 x^{\nu}(1-x)^{\nu} dx\leq \int_0^1 \frac{1}{2^{2\nu}} dx=\frac{1}{2^{2\nu}}$ .

Αχιλλέας

Χρήστος Λαζαρίδης · #3

Φωτεινή Καλημέρα
Μία προσέγγιση.
$\displaystyle{{(2x - 1)^2} \ge 0 \Rightarrow 4{x^2} - 4x \ge - 1 \Rightarrow 4x - 4{x^2} \le 1 \Rightarrow x(1 - x) \le \frac{1}{4} \Rightarrow {x^v}{(1 - x)^v} \le \frac{1}{{{4^v}}}}$
(0 < x <1)
$\displaystyle{\int_0^1 {{x^v}{{(1 - x)}^v}dx \le \int_0^1 {\frac{1}{{{4^v}}}dx = \frac{1}{{{4^v}}}[x]\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ 0 \\ \end{array}} } = \frac{1}{{{4^v}}} = \frac{1}{{{2^{2v}}}}}$
Φιλικά Χρήστος
Βλέπω ότι με πρόλαβε ο achilleas

#4

Να προσθέσω ότι το ολοκλήρωμα ισούται με $\displaystyle{\frac{(n!)^2}{(2n+1)!}}$ . Αυτό μπορεί να υπολογιστεί κάνοντας την αντικατάσταση $x = \sin^2{\theta}$ και χρησιμοποιώντας επαγωγή. Η επαγωγή δεν δουλέυει εύκολα για το

$\displaystyle{I_n = \int_0^1 x^n(1-x)^n \;dx = \frac{(n!)^2}{(2n+1)!} }$

Η επαγωγή όμως δουλεύει μια χαρά αν προσπαθήσουμε να αποδείξουμε το πιο γενικό

$\displaystyle{I_{n,m} = \int_0^1 x^n(1-x)^m \;dx = \frac{n!m!}{(n+m+1)!}}$

(Αναφερθήκαμε και σε άλλο θέμα ότι πολλές φορές όταν δουλεύουμε με επαγωγή είναι πιο εύκολο να αποδείξουμε κάτι πιο ισχυρό.)

Το ολοκλήρωμα είναι γνωστό σαν Beta function.

#5

όπως πάντα όλοι πανέτοιμοι !!!

Demetres έγραψε: Το ολοκλήρωμα είναι γνωστό σαν Beta function.

Δημήτρη έτσι να μας τα λες ,για να θυμόμαστε και όσα δε ξέρουμε να τα μαθαίνουμε
τη συγκεκριμένη
κάπου... κάποτε... την είχα μάθει,αλλά περνάνε τα χρόνια ...και πολλά τα παίρνει ο αέρας...

#6

Demetres έγραψε: $\displaystyle{I_{n,m} = \int_0^1 x^n(1-x)^m \;dx = \frac{n!m!}{(n+m+1)!}}$

Υπάρχει και μια διαφορετική απόδειξη η οποία όμως ξεφεύγει από τα σχολικά μαθηματικά. Την έβαλα σαν άσκηση εδώ.

#7

Demetres έγραψε:Να προσθέσω ότι το ολοκλήρωμα ισούται με $\displaystyle{\frac{(n!)^2}{(2n+1)!}}$ . Αυτό μπορεί να υπολογιστεί κάνοντας την αντικατάσταση $x = \sin^2{\theta}$ και χρησιμοποιώντας επαγωγή. Η επαγωγή δεν δουλέυει εύκολα για το

$\displaystyle{I_n = \int_0^1 x^n(1-x)^n \;dx = \frac{(n!)^2}{(2n+1)!} }$

Η επαγωγή όμως δουλεύει μια χαρά αν προσπαθήσουμε να αποδείξουμε το πιο γενικό

$\displaystyle{I_{n,m} = \int_0^1 x^n(1-x)^m \;dx = \frac{n!m!}{(n+m+1)!}}$

Ένας άλλος τρόπος είναι ο εξής:

Με ολοκλήρωση κατά μέρη, με $u=(1-x)^{n-k}$ και dv=x^k dx

είναι

$\int_0^1 x^k (1-x)^{n-k} dx= \frac{n-k}{k+1}\int_0^1 x^{k+1} (1-x)^{n-(k+1)} dx$ ,

οπότε

$\int_0^1 {n \choose \of k} x^k (1-x)^{n-k} dx= \int_0^1 {n \choose \of k+1} x^{k+1} (1-x)^{n-(k+1)} dx$ ,

αφού ${n \choose \of k+1}=\frac{n-k}{k+1}{n \choose \of k}$ ,

δηλαδή $J_{n,k}=J_{n,k+1}$ , όπου $J_{n,k}={n \choose \of k}\int_0^1 x^k (1-x)^{n-k} dx= \int_0^1 {n \choose \of k} x^k (1-x)^{n-k} dx$ .

Έτσι

$J_{n,k}=J_{n,n}=\int_0^1 x^n dx= \frac{1}{n+1}$ (*)

Συνεπώς,
$\displaystyle{\int_0^1 x^k (1-x)^{n-k} dx=\frac{J_{n,k}}{{n \choose \of k}}=\frac{1}{(n+1){n \choose \of k}}}$

'Αρα το ολοκλήρωμα I_n

στο μήνυμα του Δημήτρη γίνεται

$\displaystyle{I_n=\frac{J_{2n,n}}{{2n \choose \of n}}=\frac{1}{(2n+1){2n \choose \of n}}=\frac{(n!)^2}{(2n+1)!}}$

και το $I_{n,m}$

$\displaystyle{I_{n,m}=\frac{J_{n+m,n}}{{n+m \choose \of n}}=\frac{1}{(n+m+1){n+m \choose \of n}}=\frac{n! m!}{(n+m+1)!}}$

Φιλικά,

Αχιλλέας

(*) Αλλιώς,

$\displaystyle{(n+1)J_{n,k}=\sum_{k=0}^n J_{n,k}= \int_0^1 \left(\sum_{k=0}^n {n \choose \of k} x^k (1-x)^{n-k}\right) dx=\int_0^1 1dx=1}$ .

Να αποδείξετε-3- (Προς Αποδ.)

Να αποδείξετε-3- (Προς Αποδ.)

Re: Να αποδείξετε-3-

Re: Να αποδείξετε-3-

Re: Να αποδείξετε-3-

Re: Να αποδείξετε-3-

Re: Να αποδείξετε-3-

Re: Να αποδείξετε-3-

Μέλη σε σύνδεση