Ολοκλήρωμα 2

Συντονιστής: R BORIS

ghan
Δημοσιεύσεις: 219
Εγγραφή: Δευ Δεκ 26, 2011 11:18 pm

Ολοκλήρωμα 2

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ghan » Τρί Ιαν 03, 2012 11:20 pm

Αν f:\left[ 0,1 \right]\to \mathbb{R} συνεχής, τότε:
\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f\left( \sin 2t \right)\cos t\,dt}=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f\left( {{\cos }^{2}}t \right)\cos t\,dt=}\int_{0}^{1}{f\left( 1-{{x}^{2}} \right)dx}


Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Ολοκλήρωμα 2

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Πέμ Ιαν 05, 2012 12:50 am

\displaystyle{\int_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {{{\cos }^2}t} \right)\cos t{\mkern 1mu} dt}  = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {1 - {{\sin }^2}t} \right)\cos t{\mkern 1mu} dt} \mathop  = \limits_{\cos tdt = dx}^{\sin t = x} \int_0^1 {f\left( {1 - {x^2}} \right)dx} }

Αυτό με παίδεψε και έχω την αίσθηση ότι την συγκεκριμένη άσκηση την έχω ξαναλύσει
\displaystyle{I = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {\sin 2t} \right)\cos t{\mkern 1mu} dt} \mathop  = \limits_{dt =  - dx}^{t = \frac{\pi }{2} - x} \int_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {\sin 2x} \right)\sin x{\mkern 1mu} dt} }

\displaystyle{2I = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\cos t + \sin t} \right)f\left( {\sin 2t} \right)dt}  = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\cos t + \sin t} \right)f\left( {1 - {{\left( {\sin t - \cos t} \right)}^2}} \right)dt} \mathop  = \limits_{\left( {\cos t + \sin t} \right)dt = dx}^{\sin t - \cos t = x} }
\displaystyle{\int_{ - 1}^1 {f\left( {1 - {x^2}} \right)dx}  = 2\int_0^1 {f\left( {1 - {x^2}} \right)dx}  \Rightarrow I = \int_0^1 {f\left( {1 - {x^2}} \right)dx} }


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης