Ολοκλήρωμα με γινόμενο ημιτόνων στον παρονομαστή

#1

Υπολογισθήτω το $\displaystyle{\int\frac{1}{\sin(x+2)\sin(x+3)}\,dx}$ .

GMANS · #2

$I=\frac{1}{sin1}\int \frac{sin((x+3)-(x+2)))}{sin(x+2)sin(x+3)}dx=\frac{1}{sin1}\int \frac{sin(x+3)cos(x+2))}{sin(x+2)sin(x+3)}dx-\frac{1}{sin1}\int \frac{sin((x+2)cos(x+3)}{sin(x+2)sin(x+3)}dx=\frac{1}{sin1}\int \frac{cos(x+2))}{sin(x+2)}dx-\frac{1}{sin1}\int \frac{cos(x+3)}{sin(x+3)}dx=\frac{1}{sin1}(ln\left | sin(x+2)\right |-ln\left |sin)x+3) \right |)+c=\frac{1}{sin1}ln\left | \frac{sin(x+2)}{sin(x+3)} \right |+c$

Παρατήρηση

Με την ίδια «τεχνική» υπολογίζονται ολοκληρώματα της μορφής

$\int \frac{1}{sin(ax+b)sin(ax+c)}dx,\int \frac{1}{sin(ax+b)cos(ax+c)}dx,\int \frac{1}{cos(ax+b)cos(ax+c)}dx$

Με $a\neq 0,b\neq c$

#3

Όμορφα. Αλλιώς μπορούμε με αλλαγή από γινόμενο σε άθροισμα στον παρονομαστή να γράψουμε το ολοκήρωμα ως $\displaystyle{\int_{2}^{\sin(1)-\cos(2x+5)}\,dx}$ και κατόπιν να κάνουμε τις αντικαταστάσεις 2x+5=y

και $t=\tan\frac{y}{2}$ .

Ολοκλήρωμα με γινόμενο ημιτόνων στον παρονομαστή

Ολοκλήρωμα με γινόμενο ημιτόνων στον παρονομαστή

Re: Ολοκλήρωμα με γινόμενο ημιτόνων στον παρονομαστή

Re: Ολοκλήρωμα με γινόμενο ημιτόνων στον παρονομαστή

Μέλη σε σύνδεση