Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Συντονιστής: R BORIS

Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12181
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#261

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Μάιος 07, 2020 5:00 pm

Άσκηση 93

Έστω a, \,b,\, c,\,d \in \mathbb R. Να βρεθεί το ολοκλήρωμα \displaystyle{\int (ax^3+bx^2+cx+ d)e^x\, dx}

Σχόλιο: Με κατά παράγοντες είναι απλό αλλά ίσως κάπως επίπονο. Την αναρτώ γιατί ζητώ απλή λύση, χωρίς κατά παράγοντες.
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Πέμ Μάιος 07, 2020 11:06 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4296
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#262

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Μάιος 07, 2020 10:32 pm

Μιχάλη απαγορεύεται να δουλέψουμε και με τη tabular integration ; Αν ναι, τότε ενδιαφέρον.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12181
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#263

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Μάιος 07, 2020 11:04 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Πέμ Μάιος 07, 2020 10:32 pm
Μιχάλη απαγορεύεται να δουλέψουμε και με τη tabular integration ; Αν ναι, τότε ενδιαφέρον.
Ασφαλώς και απαγορεύεται. H tabular integration είναι ακριβώς ολοκλήρωση κατά παράγοντες και μάλιστα "n-φορές". Απαγορεύεται δια ροπάλου.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3069
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#264

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Μάιος 08, 2020 12:58 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Πέμ Μάιος 07, 2020 5:00 pm
Άσκηση 93

Έστω a, \,b,\, c,\,d \in \mathbb R. Να βρεθεί το ολοκλήρωμα \displaystyle{\int (ax^3+bx^2+cx+ d)e^x\, dx}

Σχόλιο: Με κατά παράγοντες είναι απλό αλλά ίσως κάπως επίπονο. Την αναρτώ γιατί ζητώ απλή λύση, χωρίς κατά παράγοντες.
Δεν ξέρω αν είναι αυτό άλλα το βρίσκω ενδιαφέρον.
Αρκεί να βρούμε \displaystyle g(x)=p(x)e^x με

\displaystyle g'(x)= (ax^3+bx^2+cx+ d)e^x
Αρκεί να έχουμε
\displaystyle p'(x)+p(x)=(ax^3+bx^2+cx+ d)

Η εξίσωση \displaystyle p'(x)+p(x)=r(x)
έχει λύση την
p(x)=r(x)-r'(x)+r''(x)-........
αρκεί η σειρά να συγκλίνει να παραγωγίζεται κλπ.
Για πολυώνυμα σίγουρα γίνεται.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12181
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#265

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Μάιος 08, 2020 10:40 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Παρ Μάιος 08, 2020 12:58 am
Δεν ξέρω αν είναι αυτό άλλα το βρίσκω ενδιαφέρον.
Αρκεί να βρούμε \displaystyle g(x)=p(x)e^x με

\displaystyle g'(x)= (ax^3+bx^2+cx+ d)e^x
Αρκεί να έχουμε
\displaystyle p'(x)+p(x)=(ax^3+bx^2+cx+ d)

Η εξίσωση \displaystyle p'(x)+p(x)=r(x)
έχει λύση την
p(x)=r(x)-r'(x)+r''(x)-........
αρκεί η σειρά να συγκλίνει να παραγωγίζεται κλπ.
Για πολυώνυμα σίγουρα γίνεται.
Ναι, ουσιαστικά αυτό είχα κατά νου με την προσθήκη (*) ότι μπορούμε να υποθέσουμε ότι
το p είναι τρίτου βαθμού. Οπότε η p'(x)+p(x)=ax^3+bx^2+cx+ d με p(x)=Ax^3+Bx^2+Cx+D
γίνεται

Ax^3+(B+3A)x^2+(C+2B)x+(D+C)=ax^3+bx^2+cx+ d που λύνεται άμεσα ("τριγωνικό σύστημα")

(*) Ας την πούμε προσθήκη δεδομένου ότι η τρίτη γραμμή από το τέλος στην απάντηση του Σταύρου είναι άλλη, ισοδύναμη, μορφή του.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3069
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#266

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Μάιος 08, 2020 3:12 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Παρ Μάιος 08, 2020 10:40 am
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Παρ Μάιος 08, 2020 12:58 am
Δεν ξέρω αν είναι αυτό άλλα το βρίσκω ενδιαφέρον.
Αρκεί να βρούμε \displaystyle g(x)=p(x)e^x με

\displaystyle g'(x)= (ax^3+bx^2+cx+ d)e^x
Αρκεί να έχουμε
\displaystyle p'(x)+p(x)=(ax^3+bx^2+cx+ d)

Η εξίσωση \displaystyle p'(x)+p(x)=r(x)
έχει λύση την
p(x)=r(x)-r'(x)+r''(x)-........
αρκεί η σειρά να συγκλίνει να παραγωγίζεται κλπ.
Για πολυώνυμα σίγουρα γίνεται.
Ναι, ουσιαστικά αυτό είχα κατά νου με την προσθήκη (*) ότι μπορούμε να υποθέσουμε ότι
το p είναι τρίτου βαθμού. Οπότε η p'(x)+p(x)=ax^3+bx^2+cx+ d με p(x)=Ax^3+Bx^2+Cx+D
γίνεται

Ax^3+(B+3A)x^2+(C+2B)x+(D+C)=ax^3+bx^2+cx+ d που λύνεται άμεσα ("τριγωνικό σύστημα")

(*) Ας την πούμε προσθήκη δεδομένου ότι η τρίτη γραμμή από το τέλος στην απάντηση του Σταύρου είναι άλλη, ισοδύναμη, μορφή του.
Μιχάλη γειά.

Δεν χρειάζεται να λύσουμε σύστημα.(αν και είναι από τα απλούστερα)
Από την

p'(x)+p(x)=ax^3+bx^2+cx+ d

παίρνουμε

 p(x)=ax^3+bx^2+cx+ d-(3ax^2+2bx+c)+(6ax+2b)-6a
=ax^3+(b-3a)x^2+(c-2b+6a)x+d-c+2b-6a


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12181
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#267

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Μάιος 08, 2020 3:12 pm

Άσκηση 94

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα \displaystyle{\int (7x^9+3x^4) \sqrt [5]{x^5+1} \,dx}

Σχόλιο: Μάλλον πολύ απλό, αλλά ας είναι.


Άβαταρ μέλους
mick7
Δημοσιεύσεις: 344
Εγγραφή: Παρ Δεκ 25, 2015 4:49 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#268

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mick7 » Παρ Μάιος 08, 2020 4:01 pm

Μια σκέψη το ολοκλήρωμα γράφεται σαν

\displaystyle \int x^4(7x^5+7-4)\sqrt[5]{x^5+1}dx=\int 7x^4(x^5+1)\sqrt[5]{x^5+1}dx-\int 4x^4\sqrt[5]{x^5+1}dx

Κάνοντας την αλλαγή μεταβλητής \displaystyle u=x^5+1 τα πράγματα απλοποιούνται αρκετά.





Mihalis_Lambrou έγραψε:
Παρ Μάιος 08, 2020 3:12 pm
Άσκηση 94

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα \displaystyle{\int (7x^9+3x^4) \sqrt [5]{x^5+1} \,dx}

Σχόλιο: Μάλλον πολύ απλό, αλλά ας είναι.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12181
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#269

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Μάιος 08, 2020 6:28 pm

mick7 έγραψε:
Παρ Μάιος 08, 2020 4:01 pm
Μια σκέψη το ολοκλήρωμα γράφεται σαν

\displaystyle \int x^4(7x^5+7-4)\sqrt[5]{x^5+1}dx=\int 7x^4(x^5+1)\sqrt[5]{x^5+1}dx-\int 4x^4\sqrt[5]{x^5+1}dx

Κάνοντας την αλλαγή μεταβλητής \displaystyle u=x^5+1 τα πράγματα απλοποιούνται αρκετά.
Σωστά, αλλά μπορούμε και λίγο ευκολότερα. Το παραπάνω για έναν άπειρο μαθητή φαίνεται λίγο αφύσικο. Ωστόσο μπορούμε να κάνουμε την διαδικασία κάπως πιο προσιτή.

Το αφήνω ακόμα ως ανοικτό ερώτημα, για κάπως απλούστερη λύση (τουλάχιστον στα μάτια του μαθητή).


ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ
Δημοσιεύσεις: 78
Εγγραφή: Παρ Μάιος 17, 2013 8:15 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#270

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ » Κυρ Μάιος 10, 2020 12:31 pm

Καλό μεσημέρι. Να υπενθυμίσω ότι έχει μείνει αναπάντητη η Άσκηση 88.


BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1395
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#271

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Κυρ Μάιος 10, 2020 2:41 pm

ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ έγραψε:
Κυρ Μάιος 10, 2020 12:31 pm
Καλό μεσημέρι. Να υπενθυμίσω ότι έχει μείνει αναπάντητη η Άσκηση 88.
Είναι το ολοκλήρωμα \displaystyle{\int \dfrac{x^2+2\,x+1+(3\,x+1)\,\sqrt{x+\ln\,x}}{x\,\sqrt{x+\ln\,x}\,(x+\sqrt{x+\ln\,x})}\,\mathrm{d}x}

Ολοκληρώνουμε στο διάστημα \left(\xi,+\infty\right), όπου \xi η μοναδική θετική ρίζα της εξίσωσης x+\ln\,x=0\,,x>0.

Το κλειδί είναι η παράγωγος της f(x)=x+\sqrt{x+\ln\,x}\,,x>\xi, που είναι f^{\prime}(x)=\dfrac{2\,x\,\sqrt{x+\ln\,x}+x+1}{2\,x\,\sqrt{x+\ln\,x}}\,,x>\xi.

Έχουμε τώρα διαδοχικά,

\begin{aligned}\int \dfrac{x^2+2\,x+1+(3\,x+1)\,\sqrt{x+\ln\,x}}{x\,\sqrt{x+\ln\,x}\,(x+\sqrt{x+\ln\,x})}\,\mathrm{d}x&=\int \dfrac{(2\,x\,\sqrt{x+\ln\,x}+x+1)+(x+1)\,(x+\sqrt{x+\ln\,x})}{x\,\sqrt{x+\ln\,x}\,(x+\sqrt{x+\ln\,x})}\,\mathrm{d}x\\&=\int \left(2\,\dfrac{2\,x\,\sqrt{x+\ln\,x}+x+1}{2\,x\,\sqrt{x+\ln\,x}}\,\dfrac{1}{x+\sqrt{x+\ln\,x}}+\dfrac{1+1/x}{\sqrt{x+\ln\,x}}\right)\,\mathrm{d}x\\&=2\,\ln\,(x+\sqrt{x+\ln\,x})+2\,\sqrt{x+\ln\,x}+c\,,c\in\mathbb{R} \end{aligned}


Παπαπέτρος Ευάγγελος
BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1395
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#272

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Κυρ Μάιος 10, 2020 8:01 pm

Άσκηση 95

Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα \displaystyle{\int \dfrac{x}{1+\sin\,x}\,\mathrm{d}x}


Παπαπέτρος Ευάγγελος
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4296
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#273

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Μάιος 10, 2020 10:32 pm

BAGGP93 έγραψε:
Κυρ Μάιος 10, 2020 8:01 pm
Άσκηση 95

Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα \displaystyle{\int \dfrac{x}{1+\sin\,x}\,\mathrm{d}x}

Αρχικά παρατηρούμε ότι:

\displaystyle{\begin{aligned} 
\int \frac{\mathrm{d}x}{1+\sin x} &= \int \frac{1-\sin x}{\cos^2 x} \, \mathrm{d}x \\  
 &= \tan x - \sec x + c 
\end{aligned}}
οπότε κάνοντας παράγοντες έχουμε:


\displaystyle{\begin{aligned} 
\int \frac{x}{1+\sin x} \, \mathrm{d}x &= x\left ( \tan x - \sec x \right ) - \int \left ( \tan x - \sec x \right )\, \mathrm{d}x \\  
 &= x \left ( \tan x -\sec x \right ) + \ln \cos x + \ln \left ( \tan x + \sec x \right ) + c   
\end{aligned}}
(*)\sec x = \frac{1}{\cos x}.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Μάρκος Βασίλης
Δημοσιεύσεις: 205
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 31, 2019 5:47 pm
Τοποθεσία: Καισαριανή
Επικοινωνία:

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#274

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάρκος Βασίλης » Κυρ Μάιος 10, 2020 10:40 pm

BAGGP93 έγραψε:
Κυρ Μάιος 10, 2020 8:01 pm
Άσκηση 95

Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα \displaystyle{\int \dfrac{x}{1+\sin\,x}\,\mathrm{d}x}
Διαδοχικά έχουμε:

\displaystyle{\begin{aligned} 
\int\frac{x}{1+\sin x}dx&=\int\frac{x(1-\sin x)}{\cos^2x}dx=\\ 
&=\int x(1-\sin x)(\tan x)'dx=\\ 
&=x(1-\sin x)\tan x-\int (1-\sin x-x\cos x)\tan xdx=\\ 
&=x(1-\sin x)\tan x-\int\tan x-\frac{\sin^2 x}{\cos x}-x\sin xdx=\\ 
&=x(1-\sin x)\tan x-\int\tan xdx+\int\frac{1-\cos^2 x}{\cos x}dx+\int x\sin xdx=\\ 
&=x(1-\sin x)\tan x+\ln\cos x+\int\frac{1}{\cos x}-\cos xdx+\sin x-x\cos x=\\ 
&=x(1-\sin x)\tan x+\ln\cos x+\int\frac{\cos}{\cos^2x}dx-\int\cos xdx+\sin x-x\cos x=\\ 
&=x(1-\sin x)\tan x+\ln\cos x+\int\frac{\cos}{1-\sin^2x}dx+2\sin x-x\cos x=\\ 
&=x(1-\sin x)\tan x+\ln\cos x+\int\frac{1}{1-u^2}du+2\sin x-x\cos x=\\ 
&=x(1-\sin x)\tan x+\ln\cos x+\ln\sqrt{\left|\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right|}+2\sin x-x\cos x+c. 
\end{aligned}}

Edit: Με πρόλαβε ο Τόλης, αλλά το αφήνω λόγω κόπου.


\textcolor{blue}{\forall after-maths}
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4296
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#275

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Μάιος 16, 2020 4:37 pm

Άσκηση 96

Έστω f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} συνεχής συνάρτηση και μη μηδενική. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{4}^{10} \frac{f \left ( x^2 \right )}{f\left ( x^2-28x +196 \right ) + f \left ( x^2 \right )} \, \mathrm{d}x }


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4296
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#276

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Μάιος 16, 2020 4:49 pm

Άσκηση 97


Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{-1/2}^{1/2} x^2 \ln \frac{1-x}{1+x} \, \mathrm{d}x}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3069
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#277

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Μάιος 16, 2020 4:53 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Σάβ Μάιος 16, 2020 4:37 pm
Άσκηση 96

Έστω f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{N} συνεχής συνάρτηση. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{4}^{10} \frac{f \left ( x^2 \right )}{f\left ( x^2-28x +196 \right ) + f \left ( x^2 \right )} \, \mathrm{d}x }
Αφου είναι συνεχής και έχει πεδίο τιμών το  \mathbb{N} θα είναι σταθερή.
Αν είναι μηδέν δεν ορίζεται το ολοκλήρωμα.
Διαφορετικά είναι
\displaystyle{\mathcal{J}=3.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3069
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#278

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Μάιος 16, 2020 4:57 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Σάβ Μάιος 16, 2020 4:49 pm
Άσκηση 97


Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{-1/2}^{1/2} x^2 \ln \frac{1-x}{1+x} \, \mathrm{d}x}
Κάνοντας αλλαγή με -χ στην θέση του χ

είναι

\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{-1/2}^{1/2} x^2 \ln \frac{1+x}{1-x} \, \mathrm{d}x}

Ετσι προσθέτοντας έχουμε

\displaystyle 2{\mathcal{J} = \int_{-1/2}^{1/2} x^2 \ln 1 \, \mathrm{d}x}=0


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4296
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#279

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Μάιος 16, 2020 7:43 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Σάβ Μάιος 16, 2020 4:53 pm
Tolaso J Kos έγραψε:
Σάβ Μάιος 16, 2020 4:37 pm
Άσκηση 96

Έστω f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{N} συνεχής συνάρτηση. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{4}^{10} \frac{f \left ( x^2 \right )}{f\left ( x^2-28x +196 \right ) + f \left ( x^2 \right )} \, \mathrm{d}x }
Αφου είναι συνεχής και έχει πεδίο τιμών το  \mathbb{N} θα είναι σταθερή.
Αν είναι μηδέν δεν ορίζεται το ολοκλήρωμα.
Διαφορετικά είναι
\displaystyle{\mathcal{J}=3.

Φυσικά Σταύρο πριν προλάβεις να δημοσιεύσεις την απάντησή σου , είχα αλλάξει την εκφώνηση. Οπότε όλα πλέον κλείνουν.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12181
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#280

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Μάιος 17, 2020 12:48 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Σάβ Μάιος 16, 2020 4:37 pm
Άσκηση 96

Έστω f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} συνεχής συνάρτηση και μη μηδενική. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{4}^{10} \frac{f \left ( x^2 \right )}{f\left ( x^2-28x +196 \right ) + f \left ( x^2 \right )} \, \mathrm{d}x }
Ας την δούμε τώρα με την σωστή εκφώνηση (με  \mathbb{R} αντί  \mathbb{N} ). Τέτοιες έχουμε δει πολλές σε αυτό το θρεντ.

Η αλλαγή μεταβλητής x=14-t δίνει

\displaystyle{J=  \int_{4}^{10} \frac{f \left ( x^2 \right )}{f\left ( (x-14)^2 \right ) + f \left ( x^2 \right )} \, \mathrm{d}x =  \int_{4}^{10} \frac{f \left ( (14-t)^2 \right )}{f\left ( t^2 \right ) + f \left ( (14-t)^2 \right )} \, \mathrm{d} t }

Άρα \displaystyle{2J =  \int_{4}^{10} \frac{f \left ( x^2 \right )+ f((14-x)^2)}{f\left ( (x-14)^2 \right ) + f \left ( x^2 \right )} \, \mathrm{d}x =6}. Άρα J=3


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης